🔺 Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym przyprostokątna $AC$ ma długość $12$. Punkt $E$ jest środkiem prze...

Dwa okręgi o promieniach $r$ i $R$ są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach $A$ i $B$...

Trójkąt ostrokątny $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $4$. Kąt $CAB$ jest równy kątowi $OCB$...

Dany jest trójkąt o bokach długości $a$, $b$, $c$. Stosunek $a:b:c$ jest równy $3:5:7$. Które zdanie jest fałs...

W trójkącie $ABC$ o bokach długości $|AC|=b$, $|BC|=a$ i kącie między nimi $60^\circ$ poprowadzono dwusieczną k...

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ jest środkiem boku $AB$ oraz $|CD|=|CB|$ (zobacz rysunek). Bok $CB$ przedłużono ta...

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ są położone w tej kolejności na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek). Odcinki...

Końce odcinka $AB$ o długości $9$ są środkami okręgów o promieniach $6$ i $4$ (zobacz rysunek). Punkt $C$ leży...

Na rysunku przedstawiono trapez $ABCD$ oraz zaznaczono wysokości $DE$ i $CF$ tego trapezu. Punkt $F$ jest środki...

Odcinki $AD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $C$. W trójkątach $ABC$ i $CDE$ zachodzą związki:...

Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od $24$, w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o $5$. Oblicz długość dłużs...

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu r (zobacz rysunek). Cięciwa $AC$ ma długość...

Parami różne punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ leżą na okręgu. Odcinki $DE$ i $AC$ są równoległe, zaś odcinek...

Trójkąt $T$ jest podobny do trójkąta $T_1$ w skali $k=\frac{1}{6}$, a trójkąt $T_2$ jest podobny do trójkąta \(T...

Pole trójkąta $ABC$ równe jest $S$. Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku $x : y : x$, gdzie $x$ i $y$ są p...

Do okręgu o środku $O$ poprowadzono z zewnętrznego punktu $P$ dwie styczne przecinające się w $P$ pod kątem...

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$ są położone w tej kolejności na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek). Odcinek $DB$...

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ taki, że kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są proste oraz $|AB|=10$,...

Dany jest trójkąt $ABC$, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: $y=\frac{1}{2}x+1$, $y=7-x$ oraz...

Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg $O_1$ o środku $S$ i promieniu równym $6$ oraz okrąg $O_2$ o środk...

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości: $|AB| = 4$, $|BC| = 5$, $|AC| = 6$. Na tym trójkącie opisano okrąg o...

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Cało...

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej...

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie....

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej...

W trójkącie $ABC$ dane są długości dwóch boków $|AB| = 12$, $|BC| = 8$ oraz miara kąta...

Liczby $6, 10, c$ są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz $c$.

Czworokąty $ABCD$ i $APQR$ są kwadratami. Udowodnij, że $|BP| = |DR|$.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości $12$. Wysokość stożka jest równa $8$. Obli...

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe. Długości odcinków $AC, CE$ i $BC$ są podane na rysunku. Długość odcinka...

Liczby $6, 10, c$ są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz $c$.

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu $4$ cm jest równe

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa...

Oblicz pole trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AB| = 24$ i $|AC| = |BC| = 13$.

Obwód czworokąta wypukłego $ABCD$ jest równy $50$ cm. Obwód trójkąta $ABD$ jest równy $46$ cm, a obwód trójkąta...

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości $6$. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równ...

Liczby $4, 10, c$ są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz $c$.

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa $180^\circ$. Jaka jest miara kąta ś...

Dane są długości boków $|BC|=5$ i $|AC|=3$ trójkąta prostokątnego $ABC$ o kącie ostrym $\beta$ . Wtedy

Liczby $x - 1, x, 5$ są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz $x$.

Kąt między cięciwą $AB$ a styczną do okręgu w punkcie $A$ ma miarę $\alpha =62^\circ$. Wówczas:

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę $45^\circ$, a jego pole jest równe $50\sqrt{2}$. Oblicz wysokość tego rom...

Krótszy bok prostokąta ma długość $6$. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę $30^\circ$. Dłuższ...

Jeden kąt trójkąta ma miarę $54^\circ$. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest $6$ razy większy od drugi...

Pięciokąt $ABCDE$ jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta $ECD$

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku $a$. Jeżeli $r$ oznacza promień podstawy walca, $h$ oznacza wysokość w...

Cięciwa okręgu ma długość $8$ cm i jest oddalona od jego środka o $3$ cm. Promień tego okręgu ma długość

Prostokąt $ABCD$ o przekątnej długości $2\sqrt{13}$ jest podobny do prostokąta o bokach długości $2$ i $3$. Obwó...

Kosinus kąta ostrego rombu jest równy $\frac{\sqrt{3}}{2}$, bok rombu ma długość $3$. Pole tego rombu jest równe

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ oraz wysokości $AD$. Dwusieczna kąta $ABC$ przeci...

Dany jest trapez $ABCD$, w którym przekątna $AC$ jest prostopadła do ramienia $BC$, $|AD|=|DC|$ oraz...

Odcinek $BD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego $ABC$ trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne $AC$ i...

Dwusieczna kąta ostrego $ABC$ przecina przyprostokątną $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ w punkcie $D$. Udowodni...

Trójkąt $ABC$ jest podobny do trójkąta $A'B'C'$ w skali $\frac{5}{2}$, przy czym $|AB|=\frac{5}{2}|A'B'|$. Stosu...

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe $\frac{1}{3}\pi ^3$. Długość boku tego trójkąta jest równa

Pole trójkąta prostokątnego $ABC$, przedstawionego na rysunku, jest równe

W okręgu o środku $O$ dany jest kąt wpisany $ABC$ o mierze $20^\circ$ (patrz rysunek). Miara kąta $CAO$ jest ró...

Pole powierzchni bocznej walca jest równe $16\pi$, a promień jego podstawy ma długość $2$. Wysokość tego walca jest...

Okrąg o środku $S_1=(2,1)$ i promieniu $r$ oraz okrąg o środku $S_2=(5,5)$ i promieniu $4$ są styczne zewnętrzni...

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku $4:3:3:2$. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miar...

Długości boków trapezu równoramiennego są równe $12, 13, 2, 13$. Wysokość $h$ tego trapezu jest równa

Pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(4,2)$, $C=(2,6)$ jest równe

Pole trójkąta równobocznego $T_1$ jest równe $\frac{(1{,}5)^2\sqrt{3}}{4}$. Pole trójkąta równobocznego $T_2$ jest...

Na łukach $AB$ i $CD$ okręgu są oparte kąty wpisane $ADB$ i $DBC$, takie, że \(|\sphericalangle ADB| = 20^\circ\...

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek). Oceń prawdzi...

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$...

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Prosta \(l...

Punkty $A, B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Długość łuku $A B$, na którym jest oparty kąt wpis...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o...

Kwadrat $\mathcal{K}_{2}$ jest podobny do kwadratu $\mathcal{K}_{1}$ w skali $5$ (zobacz rysunek). Suma pól tych k...

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10,\,24,\,26$ (zobacz rysunek).

a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą...

Odcinki $AB$ i $DE$ są równoległe. Długości odcinków $CD, DE$ i $AB$ są odpowiednio równe $1$, $3$ i $9$....

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trape...

Okrąg opisany na kwadracie ma promień $4$. Długość boku tego kwadratu jest równa

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię $240$ m 2 . Basen w drugim ho...

Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość $6$, a ramię ma długość $5$. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość

Punkty $A, B, C$ leżące na okręgu o środku $S$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunk...

Trójkąty prostokątne równoramienne $ABC$ i $CDE$ są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt prz...

Wysokość rombu o boku długości $6$ i kącie ostrym $60^\circ$ jest równa

Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$. Na boku $BC$ wybrano taki punkt $E$, że $|EC|=|CD|$ i...

Punkt $O$ jest środkiem okręgu. Kąt wpisany $\alpha$ ma miarę

Odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe i $|AB|=5, |AC|=2, |CD|=7$ (zobacz rysunek). Długość odcinka $AE$ jest rów...

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów $A$ i $B$. Dwusieczne te przecinają się w punkcie $P$. Uzasadnij...

Punkty $A, B, C, D$ dzielą okrąg na $4$ równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego $ACD$ jest równa

Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $20^\circ$ . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości $5$ i $7$. Obwód tego trójkąta jest równy

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu $5$ jest równe

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AC|=|BC|=5$ oraz wysokość $|CD|=2$. Podstawa $AB$ tego trójką...

Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $ABC$. Kąt $ACS$ jest trzy razy większy od kąta...

Średnice $AB$ i $CD$ okręgu o środku $S$ przecinają się pod kątem $50^\circ$ (tak jak na rysunku). Miara kąta...

Środek $S$ okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym $ABC$, o ramionach $AC$ i $BC$, leży wewnątrz te...

Jeżeli trójkąty $ABC$ i $A'B'C'$ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe $25$ cm 2 i $50$ cm 2 , t...

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa $\frac{4}{9}$ długości okręgu, ma miarę

Kąt $CAB$ trójkąta prostokątnego $ACB$ ma miarę $30^\circ$. Pole kwadratu $DEFG$, wpisanego w ten trójką...

Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym $60^\circ$ i ramieniu długości $2\sqrt{3}$ jest równa

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o $20^\circ$ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika s...

Pole rombu o obwodzie $8$ jest równe $1$. Kąt ostry tego rombu ma miarę $\alpha$. Wtedy

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o $50^\circ$....

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\...

Z odcinków o długościach: $5, 2a+1, a-1$ można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

Punkty $ABCD$ leżą na okręgu o środku $S$ (zobacz rysunek). Miara kąta $BDC$ jest równa

W okręgu o środku w punkcie $S$ poprowadzono cięciwę $AB$, która utworzyła z promieniem $AS$ kąt o mierze...

Przedstawione na rysunku trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne. Bok $AB$ trójkąta $ABC$ ma długość

Okręgi o promieniach $3$ i $4$ są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$ pr...

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $26$ cm, a jedna z przyprostokątnych jest o $14$ cm dłuższa od...

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leży punkt $C$ (zobacz rysunek). Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Zaznaczo...

Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku jest równy

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$, a punkt $E$ leży na boku $AB$. Odcinek $DE$ jest równoległy d...

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta...

Przyprostokątna $LM$ trójkąta prostokątnego $KLM$ ma długość $3$, a przeciwprostokątna $KL$ ma długość $8$ (zo...

Dany jest trójkąt o bokach długości: $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{5}$. Trójkątem podobnym do tego trójkąta je...

Dany jest okrąg o środku $S$. Punkty $K$, $L$ i $M$ leżą na tym okręgu. Na łuku $KL$ tego okręgu są oparte kąt...

Dany jest trapez prostokątny $KLMN$, którego podstawy mają długości $|KL| = a$, $|MN| = b$, $a\gt b$. Kąt \(KLM\...

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $8$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość \(4\...

Punkty $D$ i $E$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym $ABC$ (zobacz rysunek). Odcinek $CD$ jest śre...

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $5$ oraz okrąg o środku w punkcie $P$ i promieniu \(3...

Dany jest romb o boku długości $4$ i kącie rozwartym $150^\circ$. Pole tego rombu jest równe

Pole prostokąta $ABCD$ jest równe $90$. Na bokach $AB$ i $CD$ wybrano – odpowiednio – punkty $P$ i $R$, taki...

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $CD$ tego trójkąta oraz $|CE|=\frac{3}{4}|CD|$. Punk...

Punkty $A, B, C, D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt środkowy $DOC$ ma miarę $118^\circ$ (zobacz rysu...

Pole figury $F_1$ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach $1$ i $3$ jest równe polu figury \(F_2\...

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe $\frac{4\sqrt{3}}{9}$. Obwód tego trójkąta jest równy

W równoległoboku $ABCD$, przedstawionym na rysunku, kąt $\alpha$ ma miarę $70^\circ$. Wtedy kąt $\beta$ ma miar...

W trójkącie $ABC$ bok $BC$ ma długość $13$, a wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ na odcinki o długośc...

Punkty $A, B, C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $S$. Miary kątów $SBC$, $BCD$, $CDA$ są równe odpowiednio:...

W każdym $n$–kącie wypukłym ($n\ge 3$) liczba przekątnych jest równa $\frac{n(n-3)}{2}$. Wielokątem wypukłym, w kt...

Prosta $k$ jest styczna w punkcie $A$ do okręgu o środku $O$. Punkt $B$ leży na tym okręgu i miara kąta $AOB$...

Boki równoległoboku mają długości $6$ i $10$, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę $120^\circ$. Pole tego r...

Punkty $A,\ B,\ C$ leżą na okręgu o środku $S$. Punkt $D$ jest punktem przecięcia cięciwy $AC$ i średnicy okręgu...

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w takim pun...

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $6\sqrt{3}$. Pole tego trójkąta jest równe

Punkty $A,\ B,\ P$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $6$. Czworokąt $ASBP$ jest rombem, w którym kąt ostry...

Punkty $A, B, C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70^\circ$ (zobacz rysunek). Dokończ...

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości 5 i 12. Przeciwprostok...

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150^\circ$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź s...

Dany jest trójkąt $K L M$, w którym $|K M|=a,|L M|=b$ oraz $a \neq b$. Dwusieczna kąta $K M L$ przecina bok...

W trójkącie $A B C$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $A C B$ ma miarę $42^{\circ}$ (zobacz rysunek)...

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k$, $l$, $m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta \(m...

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$....

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$ oraz $|LM|=b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie...

W okrąg $\mathcal{O}$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $\mathcal{T}$. Uzupełnij zdanie. Wpisz o...

W rombie $ABCD$ dłuższa przekątna $AC$ ma długość $12$ i tworzy z bokiem $AB$ kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz...

Dany jest okrąg $O$ o środku w punkcie $S$. Średnica $AB$ tego okręgu przecina cięciwę $CD$ w punkcie $P$ (zob...

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkc...

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $7{,}5$. Krótsza przekątna $AC$ ma długość równą...

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $6$. Miara kąta wpisanego $A C B$ jest równa $60^{\circ}$ (zo...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt le...

Punkty $A,B,C,D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $K$ jest punktem przecięcia cięciwy $AC$ i średnic...

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB|=2\cdot|CD|$. Przekątna $AC$ teg...

Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu $1$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole z...

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości $20$ tworzy z podstawą kąt $67{,}5^\circ$. Pole tego...

Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trój...

W trapezie $ABCD\ (AB || CD)$ przekątne $AC \text{ i } BD$ przecinają się w punkcie $O$ takim, że...

Kąt $ASB$ jest kątem środkowym w okręgu i jego miara wynosi $100^\circ$. Miara zaznaczonego kąta $\alpha$ jest r...

Prostokąt o bokach długości $2$ i $4$ obracamy wokół krótszego boku. Ile wynosi pole powierzchni całkowitej tak otrz...

Długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe $4$ i $6$. Środkowa tego trójkąta poprowadzona z wierzcho...

Pole trójkąta przedstawionego na rysunku wynosi

Na rysunku zaznaczono kąt środkowy okręgu o mierze $250^\circ$ oraz kąt prosty pod jakim przecinają się dwie cięciwy....

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $3\sqrt{3}$. Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe

Ramiona trapezu równoramiennego $ABCD$ przedłużono i przecięły się w punkcie $E$ (patrz rysunek). Wiadomo, że...

W trapezie miary kątów ostrych są równe $30^\circ$ i $60^\circ$. Wówczas stosunek długości krótszego ramienia do d...

Oblicz pole i obwód rombu $ABCD$ wiedząc, że przekątna $AC$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=2x-2$ oraz...

Proste $k$ i $l$ są równoległe. Miara kąta $\alpha$ wynosi:

Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $20^\circ$. Największy kąt tego czworokąta ma miarę:

Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Przekątne czworokąta $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$. Kąt $ABD$ ma miar...

W trójkącie prostokątnym $BCA$ poprowadzono wysokość $CD$ z wierzchołka kąta prostego $C$, która podzieliła przeci...

Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny $ABC$ jest równe $36\pi$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośr...

Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty $B, C, N$ są współliniowe. Na boku $AC$ wy...

Pole prostokąta jest równe $40$. Stosunek długości jego boków jest równy $2:5$. Dłuższy bok tego prostokąta jest rów...

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $5$ i $12$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

Dane są dwa okręgi o promieniach $12$ i $17$. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość mię...

Bok rombu ma długość $8$, a kąt ostry ma miarę $60^\circ$. Wysokość tego rombu jest więc równa

Wykaż, że jeżeli ramiona $AD$ i $BC$ trapezu $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ zawierają się w prostych prostopa...

Proste $AD$ i $BC$ są równoległe. Długości odcinków $ED$, $DC$ oraz $AB$ podane są na rysunku. Długość odcinka...

Prostokątny pas wykładziny dywanowej o wymiarach $3{,}6$ m na $7{,}5$ m należy przeciąć prostopadle do dłuższego bok...

Rysunek przedstawia trapez prostokątny i długości trzech jego boków. Obwód tego trapezu jest równy

Punkty $A, B, C, D$ i $E$ leżą na okręgu o środku $S$ i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rys...

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy $2\sqrt{5}$. Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jes...

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu różnią się o $50^\circ$. Kąt przy krót...

Na odcinku $AB$ wybrano punkt $C$, a następnie zbudowano trójkąty równoboczne $ACD$ i $CBE$ tak, że wierzchołki...

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy $\frac{16\sqrt{3}}{3}$. Obwód tego trójkąta jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości $a$ i $b$. Punkt $O$ leży na przeciwprostokąt...

Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=|CD|=|AD|=13$ (zobacz rysunek). Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długo...

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawy $AB$ i $CD$ mają długości równe odpowiednio $a$ i $b$ (przy czym...

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego $ABC$ poprowadzono prostą $DE$ równoległą do podstawy $AB$...

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $O$. Miara kąta $CAO$ jest równa $70^\circ$ (zobacz rysunek). Wtedy...

W romb o boku $2\sqrt{3}$ i kącie $60^\circ$ wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Przekątna równoległoboku ma długość $10$ cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\...

Trapez jest prostokątny. Trójkąty podobne $ABD$ i $CBD$ są równoramienne. Obwód trapezu jest równy

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$. Miara kąta $\alpha$ jest równa $70^\circ$. Oblicz sumę miar kątów...

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny $ABC$ jest styczny do przeciwprostokątnej $AB$ w punkcie $K$. Wiadomo, że...

Długość promienia $r$ okręgu opisanego na kwadracie jest równa $2\sqrt{3}$. Długość boku tego kwadratu ma wartość:

Proste $l$ i $k$ są równoległe oraz $|OA|=6, |AB|=10, |OC|=48$ . Odcinek $OD$ ma długość:

Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe $\frac{16}{3}\pi$. Obwód tego trójkąta jest równy:

Długość odcinka $BD$ w trójkącie prostokątnym $ABC$ jest równa:

Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny.

W czworokącie $OBMA$ kąty wewnętrzne $AOB$ i $AMB$ mają równe miary. Wówczas kąt $\alpha$ ma miarę:

W trójkącie równoramiennym $ABC$ o wysokościach $CD$ i $AE$ podstawa $AB$ ma długość $8$ cm, a odcinek $BE$...

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa $8$ cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie,...

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątne różnią się o $4$, a jeden z kątów ma miarę $30^\circ$. Krótsza prz...