Trójkąty prostokątne T₁ i T₂ są podobne. Przyprostokątne trójkąta T₁ mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T₂ ma długość 26. Oblicz pole trójkąta T₂. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 120
Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta T₁.
Z treści zadania wynika, że trójkąt T₁ ma przyprostokątne o długości 5 i 12, zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej:
5²+12²=c² 25+144=c² c²=169 c=13 c=-13
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku jest dodatnia, zatem zostaje nam c=13.
Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wynika, że drugi trójkąt T₂ ma przeciwprostokątną o długości 26, czyli ma przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od trójkąta T₁.
To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi k=2.
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta T₂.
Obliczmy najpierw pole trójkąta T₁. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
P=1/2 · 12 · 5 P=30
Zgodnie z własnościami trójkątów podobnych, jeśli skala podobieństwa figur jest równa k to pole powierzchni figury podobnej będzie k² razy większe. W naszym przypadku oznaczałoby to, że pole trójkąta T₂ będzie 4 razy większe od pola trójkąta T₁, zatem:
P=4 · 30 P=120
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.