Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=108, P_c=108+72√(3)
Krok 1. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został narysowany w treści zadania. Jest to klasyczny trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°. Z własności tego trójkąta wynika, że krótsza przyprostokątna (którą w tym przypadku jest wysokość ostrosłupa) będzie dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Tym samym możemy zapisać, że:
H=6:2 H=3
Do tego samego wyniku dojdziemy korzystając z funkcji trygonometrycznej - w tej sytuacji sprawdzi się sinus:
sin30°=H/6 1/2=H/6 H=3
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy jeszcze raz na nasz trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°. Z własności tego trójkąta wynika to, że jego dolna (dłuższa) przyprostokątna będzie √(3) razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, czyli moglibyśmy zapisać, że ta dolna przyprostokątna ma długość x=3√(3).
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (wiemy to, ponieważ ostrosłup jest prawidłowy czworokątny). Ta dolna przyprostokątna naszego analizowanego przed chwilą trójkąta będzie więc połową długości boku kwadratu. To oznacza, że w takim razie:
a=2 · 3√(3) a=6√(3)
Krok 3. Obliczenie pola podstawy oraz pola powierzchni bocznej.
W podstawie naszej bryły mamy kwadrat o boku a=6√(3), zatem pole powierzchni podstawy będzie równe:
P_p=(6√(3))² P_p=36 · 3 P_p=108
Ściany boczne naszej bryły to trójkąty o podstawie a=6√(3) oraz wysokości h=6. Mamy cztery takie ściany, więc pole powierzchni bocznej będzie równe:
P_b=4 · 1/2 · 6√(3) · 6 P_b=72√(3)
Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa, możemy zapisać, że:
V=1/3 · P_p · H V=1/3 · 108 · 3 V=108
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej, możemy zapisać, że:
P_c=P_p+P_b P_c=108+72√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.