Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup i ostrosłup - wzory i zadania maturalne

Graniastosłup, którego podstawą jest $n$-kąt, ma $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi i $n + 2$ ściany. Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n + 1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi i $n + 1$ ścian. Na maturze wystarczy zamienić daną z zadania na równanie z $n$, wyznaczyć $n$ i podstawić do wzoru na szukaną wielkość.

Zadanie o liczbie krawędzi, ścian albo wierzchołków to jeden z najszybszych punktów w stereometrii: bez rysunku, bez twierdzenia Pitagorasa, bez trygonometrii. W arkuszach CKE wracało wiele razy, między innymi w maju 2010, w maju 2013, w sierpniu 2013, w maju 2014, w sierpniu 2016, w sierpniu 2017, w czerwcu 2018 i w sierpniu 2020, a w nowej formule w arkuszu z czerwca 2024 i w arkuszu z sierpnia 2024. Mimo to uczniowie tracą tu punkty, bo mylą wierzchołki z krawędziami albo wszystkie ściany ze ścianami bocznymi. W tym wpisie wyprowadzamy wszystkie sześć wzorów z rysunku, zbieramy je w tabeli i rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z matury.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup

Graniastosłup o podstawie $n$-kąta ma $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi i $n + 2$ ściany, z czego $n$ to ściany boczne, a $2$ to podstawy. Wszystkie trzy liczby zależą wyłącznie od liczby boków podstawy, więc graniastosłup prosty, pochyły i prawidłowy o tej samej podstawie mają je identyczne.

Skąd te wzory? Graniastosłup to dwie jednakowe podstawy połączone ścianami bocznymi. Policz osobno każdy element:

• •Wierzchołki: każda podstawa ma $n$ wierzchołków, a podstawy są dwie, więc $W = 2n$.
• •Krawędzie: $n$ krawędzi dolnej podstawy, $n$ krawędzi górnej podstawy i $n$ krawędzi bocznych łączących odpowiadające sobie wierzchołki, razem $K = 3n$.
• •Ściany: każdy bok podstawy wyznacza jedną ścianę boczną (równoległobok, a w graniastosłupie prostym prostokąt), czyli $n$ ścian bocznych, do tego dwie podstawy, razem $S = n + 2$.

Sprawdź to na sześcianie, czyli graniastosłupie o podstawie kwadratu ($n = 4$): $8$ wierzchołków, $12$ krawędzi, $6$ ścian. Zgadza się z tym, co widzisz na kostce do gry.

Z tych wzorów wynika test, który rozstrzyga zadanie zamknięte w kilka sekund: liczba krawędzi graniastosłupa zawsze dzieli się przez 3, a liczba jego wierzchołków jest zawsze parzysta. Graniastosłup z $20$ krawędziami nie istnieje, bo $20$ nie jest wielokrotnością $3$.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n + 1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi i $n + 1$ ścian, z czego $n$ to ściany boczne, a jedna to podstawa. Liczba wierzchołków ostrosłupa jest zawsze równa liczbie jego ścian, a liczba krawędzi jest zawsze parzysta.

Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek poza nią (wierzchołek ostrosłupa), do którego zbiegają się wszystkie krawędzie boczne:

• •Wierzchołki: $n$ wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek ostrosłupa, razem $W = n + 1$.
• •Krawędzie: $n$ krawędzi podstawy i $n$ krawędzi bocznych (od każdego wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa), razem $K = 2n$.
• •Ściany: $n$ ścian bocznych, każda jest trójkątem, i jedna podstawa, razem $S = n + 1$.

Najmniejszy ostrosłup to czworościan, czyli ostrosłup o podstawie trójkąta ($n = 3$): $4$ wierzchołki, $6$ krawędzi, $4$ ściany. Ostrosłup prawidłowy czworokątny, ten z typowych zadań o objętości ostrosłupa, ma $5$ wierzchołków, $8$ krawędzi i $5$ ścian.

Wzory

Wzór Eulera działa dla każdego graniastosłupa i każdego ostrosłupa, więc służy do kontroli wyniku. Dla graniastosłupa: $2n - 3n + (n + 2) = 2$. Dla ostrosłupa: $(n + 1) - 2n + (n + 1) = 2$. Jeśli twoje trzy liczby nie spełniają tej równości, gdzieś jest błąd rachunkowy.

Tabela dla najczęstszych brył

Liczba $n$ to liczba boków podstawy. Nazwy wielokątów i ich własności znajdziesz we wpisie o wielokątach foremnych.

Tabeli nie wkuwaj. Każdy wiersz odtworzysz w kilka sekund z trzech wzorów, a liczby w zadaniach bywają daleko poza tabelą (w arkuszu z czerwca 2024 ostrosłup ma $2024$ ściany boczne).

Jak rozwiązać zadanie o liczbie krawędzi w trzech krokach

Każde takie zadanie rozwiązuje się tą samą metodą: ustal, czy bryła to graniastosłup, czy ostrosłup, zapisz daną z treści jako równanie z niewiadomą $n$ (liczbą boków podstawy), a potem podstaw wyliczone $n$ do wzoru na wielkość, o którą pyta zadanie. Na koniec sprawdź, czy $n$ jest liczbą naturalną co najmniej $3$.

Najczęstsze sformułowania i równania, które z nich powstają:

• •"Graniastosłup ma 14 wierzchołków": $2n = 14$.
• •"Ostrosłup ma 12 ścian": $n + 1 = 12$.
• •"Ostrosłup ma 2024 ściany boczne": $n = 2024$, bez żadnego rachunku.
• •"Suma liczby krawędzi i wierzchołków graniastosłupa jest równa 15": $3n + 2n = 15$.
• •"Różnica liczby krawędzi i wierzchołków ostrosłupa jest równa 11": $2n - (n + 1) = 11$.

Całą resztę stereometrii na maturze, czyli objętości, pola i kąty, liczy się już na długościach krawędzi. Zadanie o samej liczbie krawędzi jest od nich niezależne i nie wymaga żadnej długości.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy o liczbie krawędzi, ścian i wierzchołków. Każde otwiera się na własnej stronie z rozwiązaniem krok po kroku. Gdy opanujesz liczenie elementów brył, przejdź do objętości graniastosłupa i przekątnej sześcianu i prostopadłościanu, a pełną listę zadań znajdziesz w bazie zadań CKE ze stereometrii i w dziale Stereometria.

• Matura sierpień 2013Zadanie 191 pkt
  Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa $24$. Wtedy liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa
• Matura próbna luty 2014Zadanie 201 pkt
  Graniastosłup ma $10$ ścian. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi:
• Matura próbna kwiecień 2020Zadanie 201 pkt
  Suma liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa $2020$. W podstawie tego ostrosłupa jest wielokąt o
• Matura sierpień 2017Zadanie 191 pkt
  Graniastosłup ma $14$ wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
• Matura próbna Operon listopad 2011Zadanie 231 pkt
  Graniastosłup ma $2n+6$ wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Następny krok Losuj kolejne zadanie ze stereometrii

Najczęstsze pytania o krawędzie, ściany i wierzchołki