Zadania CKE ze stereometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Stereometria to dział, na którym co roku rozbija się sporo maturzystów - nie dlatego, że jest trudna, tylko dlatego, że trzeba zobaczyć bryłę w wyobraźni i wyłapać właściwy trójkąt prostokątny. W naszej bazie mamy ponad 200 zadań ze stereometrii z prawdziwych arkuszy CKE, od jednolinijkowych zadań zamkniętych za 1 punkt po pełne zadania otwarte na 4-5 punktów. Ten tekst to hub: zbieram tu typy zadań CKE z tego działu, rozwiązuję sześć z nich krok po kroku na realnych arkuszach i kieruję cię prosto do zadań, na których możesz ćwiczyć.

Jeśli wolisz najpierw uporządkować teorię i wzory, zacznij od przewodników stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty oraz stereometria - wzory na objętość i pole powierzchni, a potem wróć tutaj po zadania. Wszystkie wzory, których potrzebujesz, masz też w tablicach.

Co dokładnie obejmuje stereometria na maturze

Pod hasłem "stereometria" CKE testuje kilka odrębnych umiejętności. Warto je rozdzielić, bo każda ma inny schemat:

• •Liczenie krawędzi, ścian i wierzchołków brył - graniastosłupów i ostrosłupów.
• •Objętość i pole powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli.
• •Kąt nachylenia krawędzi do podstawy - klucz to rzut krawędzi na podstawę.
• •Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy (kąt dwuścienny) - klucz to apotema.
• •Przekroje brył - najczęściej przekrój osiowy walca i stożka.

Każdy z tych podtematów ma osobny przewodnik: jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu, jak obliczyć objętość stożka i pole powierzchni, kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa oraz jak obliczyć kąt dwuścienny w ostrosłupie. Poniżej rozwiązuję po jednym reprezentatywnym zadaniu z różnych typów, na realnych arkuszach CKE.

Liczenie krawędzi - zadanie CKE czerwiec 2018

Zacznijmy od łatwego punktu, którego nie wolno oddać. Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, otrzymamy $15$. Ile krawędzi ma ten graniastosłup?

Graniastosłup o podstawie $n$-kąta ma $3n$ krawędzi (dwie podstawy po $n$ plus $n$ krawędzi bocznych) i $2n$ wierzchołków. Zatem:

$3n + 2n = 15 \implies 5n = 15 \implies n = 3$

Podstawą jest trójkąt, więc liczba krawędzi to $3n = 9$. Pełne rozwiązanie: zadanie matura-czerwiec-2018-23. Zapamiętaj te dwa wzory dla graniastosłupa $n$-kątnego: $3n$ krawędzi, $2n$ wierzchołków, $n+2$ ściany. Dla ostrosłupa $n$-kątnego jest $2n$ krawędzi, $n+1$ wierzchołków i $n+1$ ścian.

Przekątna sześcianu z objętości - zadanie CKE maj 2025

Klasyk, który pojawił się na maturze 2025. Objętość sześcianu jest równa $729$. Jaka jest długość jego przekątnej?

Najpierw krawędź. Objętość sześcianu to $V = a^3$, więc:

$a^3 = 729 \implies a = \sqrt[3]{729} = 9$

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$, zatem:

$d = 9\sqrt{3}$

Rozwiązanie: zadanie matura-maj-2025-33. Wzór $d = a\sqrt{3}$ bierze się z dwukrotnego twierdzenia Pitagorasa: najpierw przekątna ściany $a\sqrt{2}$, potem przekątna bryły. Warto go znać na pamięć, bo wraca co roku.

Objętość stożka z kąta rozwarcia - zadanie CKE maj 2016

Tutaj trzeba rozłożyć przekrój osiowy na dwa trójkąty prostokątne. Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$, a tworząca ma długość $4$. Oblicz objętość.

Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku $120^\circ$. Wysokość stożka dzieli ten kąt na pół, więc pracujemy z trójkątem prostokątnym o kącie $60^\circ$ przy wierzchołku, w którym tworząca $l = 4$ jest przeciwprostokątną:

$r = l \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
$h = l \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Teraz wzór na objętość stożka:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$

Rozwiązanie: zadanie matura-maj-2016-23. Najczęstszy błąd to wzięcie całego kąta $120^\circ$ zamiast jego połowy. Pamiętaj: wysokość stożka zawsze połowi kąt rozwarcia.

Objętość ostrosłupa z kątem nachylenia krawędzi - zadanie CKE próbna luty 2026

Teraz pełne zadanie otwarte na 4 punkty. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe $\frac{15\sqrt{3}}{4}$. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$, takim, że $\cos\alpha = \frac{1}{3}$. Oblicz objętość.

Krok 1. Wyznaczamy bok podstawy. Pole trójkąta równobocznego to $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, więc:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \implies a^2 = 15 \implies a = \sqrt{15}$

Krok 2. Promień okręgu opisanego na podstawie (to na nim "ląduje" rzut krawędzi bocznej): $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{5}$.

Krok 3. Krawędź boczna $b$. Jej rzut na podstawę ma długość $R$, a kąt nachylenia to $\alpha$, więc $\cos\alpha = \frac{R}{b}$:

$b = \frac{R}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{3}} = 3\sqrt{5}$

Krok 4. Wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $R, h, b$:

$h = \sqrt{b^2 - R^2} = \sqrt{45 - 5} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Krok 5. Objętość:

$V = \frac{1}{3} P h = \frac{1}{3} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 2\sqrt{10} = \frac{5\sqrt{30}}{2}$

Pełne rozwiązanie: zadanie matura-pr-bna-luty-2026-34. To wzorcowy schemat: bok podstawy, promień opisany, krawędź z kąta, wysokość z Pitagorasa, objętość.

Pole całkowite graniastosłupa z przekątną - zadanie CKE maj 2015

Kolejne zadanie otwarte. Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $16$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus wynosi $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Niech $a$ to krawędź podstawy, $d$ - przekątna bryły. Rzut przekątnej na podstawę to przekątna kwadratu podstawy, czyli $a\sqrt{2}$. Z definicji kąta nachylenia:

$\cos\beta = \frac{a\sqrt{2}}{d} = \frac{3}{5}, \qquad \sin\beta = \frac{16}{d} = \frac{4}{5}$

Z drugiego równania $d = 20$. Wtedy:

$a\sqrt{2} = d \cos\beta = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 \implies a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$

Pole podstawy: $P_p = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$. Dwie podstawy dają $144$. Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość:

$P_b = 4a \cdot 16 = 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 384\sqrt{2}$

Pole całkowite:

$P = 144 + 384\sqrt{2}$

Rozwiązanie: zadanie matura-maj-2015-32. Uwaga na pułapkę: rzutem przekątnej bryły jest przekątna podstawy $a\sqrt{2}$, a nie bok $a$.

Kąt nachylenia ściany bocznej - zadanie CKE 2015-2023

Na koniec zadanie otwarte na 5 punktów. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest $2$ razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

Oznaczmy krawędź podstawy $a$ i wysokość ostrosłupa $H$. Z treści $a = 2H$, czyli $H = \frac{a}{2}$.

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy mierzymy w trójkącie prostokątnym, którego jedną przyprostokątną jest wysokość $H$, a drugą - promień okręgu wpisanego w podstawę (apotema). Dla trójkąta równobocznego o boku $a$ ten promień to:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Tangens szukanego kąta $\varphi$ to stosunek wysokości do apotemy:

$\tan\varphi = \frac{H}{r} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \implies \varphi = 60^\circ$

Rozwiązanie: zadanie cke-2015-2023-pp-107. Kluczowa różnica: kąt nachylenia krawędzi bocznej liczysz względem promienia opisanego $R$, a kąt nachylenia ściany - względem promienia wpisanego $r$. Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd w całym dziale.

Tabela - typy zadań ze stereometrii i jak je rozpoznać

Zadania zamknięte i otwarte w stereometrii

W tym dziale CKE stawia oba typy zadań. Zadania zamknięte to zwykle szybkie rachunki: policz objętość z danych wymiarów, znajdź pole powierzchni, policz liczbę krawędzi. Liczy się tu pewność i tempo, bo punkt dostajesz albo nie, bez punktów częściowych. Trzy pierwsze przykłady wyżej to właśnie ten typ.

Zadania otwarte są dłuższe i wymagają pełnego rozumowania: trzeba narysować bryłę, wskazać właściwy trójkąt prostokątny, rozpisać kolejne kroki i podać wynik. Tu gubi się najwięcej punktów - nie przez rachunek, tylko przez źle wskazany kąt albo pomylony promień. Jeśli chcesz wyrobić nawyk poprawnego zapisu rozwiązania, przeczytaj poradnik jak rozwiązywać zadania otwarte z matematyki.

Najczęstsze błędy w stereometrii

Z setek rozwiązań widać, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy:

• •Mylenie promienia opisanego $R$ z wpisanym $r$. Krawędź boczna "siada" na $R$, apotema to $r$. To źródło połowy błędów w zadaniach z kątami.
• •Branie tworzącej zamiast wysokości stożka (albo odwrotnie) w trójkącie przekroju osiowego.
• •Zapomniany czynnik $\frac{1}{3}$ we wzorze na objętość ostrosłupa i stożka.
• •Pomylenie przekątnej ściany z przekątną bryły w sześcianie i prostopadłościanie.
• •Niedorysowany rysunek. Bez schematu bryły trudno wskazać właściwy trójkąt, a wtedy całe rozumowanie się sypie.

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach błędy rachunkowe na maturze - jak unikać oraz jak sprawdzać odpowiedzi na maturze.

Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Teoria bez zadań nic nie da. Plan jest prosty:

1. 1.Przerób przewodnik stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty, żeby ułożyć metody w głowie.
2. 2.Wejdź na stronę działu stereometria i rób zadania jedno po drugim, od najłatwiejszych zamkniętych.
3. 3.Gdy utkniesz, nie zgaduj - wrzuć zadanie do solvera i zobacz rozwiązanie krok po kroku.
4. 4.Na koniec sprawdź się losowym zadaniem z całej bazy, bez wiedzy, jaki to typ, tak jak na prawdziwej maturze.

Jeśli chcesz ćwiczyć tylko za darmo, plan darmowej nauki online masz w tekście zadania maturalne z matematyki online za darmo. A po więcej zadań z geometrii zajrzyj do hubów zadania CKE z planimetrii i zadania CKE z geometrii analitycznej.

FAQ - zadania CKE ze stereometrii

Podsumowanie

Stereometria to dział, w którym da się zgarnąć dużo pewnych punktów, jeśli opanujesz kilka schematów: wzory na liczbę krawędzi i ścian, podwójny Pitagoras dla przekątnej, rozkład przekroju osiowego na trójkąty oraz - najważniejsze - różnicę między promieniem opisanym $R$ (krawędź) a wpisanym $r$ (ściana). Masz tu komplet zadań CKE z rozwiązaniami - zacznij od strony działu, a gdy utkniesz, solver doprowadzi cię do "aha". Powodzenia.

Następny krok Losuj kolejne zadanie