Zadania CKE ze stereometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Stereometria to dział, na którym co roku rozbija się sporo maturzystów - nie dlatego, że jest trudna, tylko dlatego, że trzeba zobaczyć bryłę w wyobraźni i wyłapać właściwy trójkąt prostokątny. W naszej bazie mamy ponad 200 zadań ze stereometrii z prawdziwych arkuszy CKE, od jednolinijkowych zadań zamkniętych za 1 punkt po pełne zadania otwarte na 4-5 punktów. Ten tekst to hub: zbieram tu typy zadań CKE z tego działu, rozwiązuję sześć z nich krok po kroku na realnych arkuszach i kieruję cię prosto do zadań, na których możesz ćwiczyć.

Jeśli wolisz najpierw uporządkować teorię i wzory, zacznij od przewodników stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty oraz stereometria - wzory na objętość i pole powierzchni, a potem wróć tutaj po zadania. Wszystkie wzory, których potrzebujesz, masz też w tablicach.

Co dokładnie obejmuje stereometria na maturze

Pod hasłem "stereometria" CKE testuje kilka odrębnych umiejętności. Warto je rozdzielić, bo każda ma inny schemat:

Każdy z tych podtematów ma osobny przewodnik: jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu, jak obliczyć objętość stożka i pole powierzchni, kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa oraz jak obliczyć kąt dwuścienny w ostrosłupie. Poniżej rozwiązuję po jednym reprezentatywnym zadaniu z różnych typów, na realnych arkuszach CKE.

Liczenie krawędzi - zadanie CKE czerwiec 2018

Zacznijmy od łatwego punktu, którego nie wolno oddać. Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, otrzymamy $15$. Ile krawędzi ma ten graniastosłup?

Graniastosłup o podstawie $n$-kąta ma $3n$ krawędzi (dwie podstawy po $n$ plus $n$ krawędzi bocznych) i $2n$ wierzchołków. Zatem:

$$3n + 2n = 15 \implies 5n = 15 \implies n = 3$$

Podstawą jest trójkąt, więc liczba krawędzi to $3n = 9$. Pełne rozwiązanie: zadanie matura-czerwiec-2018-23. Zapamiętaj te dwa wzory dla graniastosłupa $n$-kątnego: $3n$ krawędzi, $2n$ wierzchołków, $n+2$ ściany. Dla ostrosłupa $n$-kątnego jest $2n$ krawędzi, $n+1$ wierzchołków i $n+1$ ścian.

Przekątna sześcianu z objętości - zadanie CKE maj 2025

Klasyk, który pojawił się na maturze 2025. Objętość sześcianu jest równa $729$. Jaka jest długość jego przekątnej?

Najpierw krawędź. Objętość sześcianu to $V = a^3$, więc:

$$a^3 = 729 \implies a = \sqrt[3]{729} = 9$$

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$, zatem:

$$d = 9\sqrt{3}$$

Rozwiązanie: zadanie matura-maj-2025-33. Wzór $d = a\sqrt{3}$ bierze się z dwukrotnego twierdzenia Pitagorasa: najpierw przekątna ściany $a\sqrt{2}$, potem przekątna bryły. Warto go znać na pamięć, bo wraca co roku.

Objętość stożka z kąta rozwarcia - zadanie CKE maj 2016

Tutaj trzeba rozłożyć przekrój osiowy na dwa trójkąty prostokątne. Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$, a tworząca ma długość $4$. Oblicz objętość.

Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku $120^\circ$. Wysokość stożka dzieli ten kąt na pół, więc pracujemy z trójkątem prostokątnym o kącie $60^\circ$ przy wierzchołku, w którym tworząca $l = 4$ jest przeciwprostokątną:

$$r = l \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$
$$h = l \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Teraz wzór na objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$$

Rozwiązanie: zadanie matura-maj-2016-23. Najczęstszy błąd to wzięcie całego kąta $120^\circ$ zamiast jego połowy. Pamiętaj: wysokość stożka zawsze połowi kąt rozwarcia.

Objętość ostrosłupa z kątem nachylenia krawędzi - zadanie CKE próbna luty 2026

Teraz pełne zadanie otwarte na 4 punkty. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe $\frac{15\sqrt{3}}{4}$. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$, takim, że $\cos\alpha = \frac{1}{3}$. Oblicz objętość.

Krok 1. Wyznaczamy bok podstawy. Pole trójkąta równobocznego to $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, więc:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \implies a^2 = 15 \implies a = \sqrt{15}$$

Krok 2. Promień okręgu opisanego na podstawie (to na nim "ląduje" rzut krawędzi bocznej): $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{5}$.

Krok 3. Krawędź boczna $b$. Jej rzut na podstawę ma długość $R$, a kąt nachylenia to $\alpha$, więc $\cos\alpha = \frac{R}{b}$:

$$b = \frac{R}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{3}} = 3\sqrt{5}$$

Krok 4. Wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $R, h, b$:

$$h = \sqrt{b^2 - R^2} = \sqrt{45 - 5} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$

Krok 5. Objętość:

$$V = \frac{1}{3} P h = \frac{1}{3} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 2\sqrt{10} = \frac{5\sqrt{30}}{2}$$

Pełne rozwiązanie: zadanie matura-pr-bna-luty-2026-34. To wzorcowy schemat: bok podstawy, promień opisany, krawędź z kąta, wysokość z Pitagorasa, objętość.

Pole całkowite graniastosłupa z przekątną - zadanie CKE maj 2015

Kolejne zadanie otwarte. Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $16$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus wynosi $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Niech $a$ to krawędź podstawy, $d$ - przekątna bryły. Rzut przekątnej na podstawę to przekątna kwadratu podstawy, czyli $a\sqrt{2}$. Z definicji kąta nachylenia:

$$\cos\beta = \frac{a\sqrt{2}}{d} = \frac{3}{5}, \qquad \sin\beta = \frac{16}{d} = \frac{4}{5}$$

Z drugiego równania $d = 20$. Wtedy:

$$a\sqrt{2} = d \cos\beta = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 \implies a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$

Pole podstawy: $P_p = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$. Dwie podstawy dają $144$. Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość:

$$P_b = 4a \cdot 16 = 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 384\sqrt{2}$$

Pole całkowite:

$$P = 144 + 384\sqrt{2}$$

Rozwiązanie: zadanie matura-maj-2015-32. Uwaga na pułapkę: rzutem przekątnej bryły jest przekątna podstawy $a\sqrt{2}$, a nie bok $a$.

Kąt nachylenia ściany bocznej - zadanie CKE 2015-2023

Na koniec zadanie otwarte na 5 punktów. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest $2$ razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

Oznaczmy krawędź podstawy $a$ i wysokość ostrosłupa $H$. Z treści $a = 2H$, czyli $H = \frac{a}{2}$.

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy mierzymy w trójkącie prostokątnym, którego jedną przyprostokątną jest wysokość $H$, a drugą - promień okręgu wpisanego w podstawę (apotema). Dla trójkąta równobocznego o boku $a$ ten promień to:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$

Tangens szukanego kąta $\varphi$ to stosunek wysokości do apotemy:

$$\tan\varphi = \frac{H}{r} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \implies \varphi = 60^\circ$$

Rozwiązanie: zadanie cke-2015-2023-pp-107. Kluczowa różnica: kąt nachylenia krawędzi bocznej liczysz względem promienia opisanego $R$, a kąt nachylenia ściany - względem promienia wpisanego $r$. Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd w całym dziale.

Tabela - typy zadań ze stereometrii i jak je rozpoznać

Zadania zamknięte i otwarte w stereometrii

W tym dziale CKE stawia oba typy zadań. Zadania zamknięte to zwykle szybkie rachunki: policz objętość z danych wymiarów, znajdź pole powierzchni, policz liczbę krawędzi. Liczy się tu pewność i tempo, bo punkt dostajesz albo nie, bez punktów częściowych. Trzy pierwsze przykłady wyżej to właśnie ten typ.

Zadania otwarte są dłuższe i wymagają pełnego rozumowania: trzeba narysować bryłę, wskazać właściwy trójkąt prostokątny, rozpisać kolejne kroki i podać wynik. Tu gubi się najwięcej punktów - nie przez rachunek, tylko przez źle wskazany kąt albo pomylony promień. Jeśli chcesz wyrobić nawyk poprawnego zapisu rozwiązania, przeczytaj poradnik jak rozwiązywać zadania otwarte z matematyki.

Najczęstsze błędy w stereometrii

Z setek rozwiązań widać, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy:

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach błędy rachunkowe na maturze - jak unikać oraz jak sprawdzać odpowiedzi na maturze.

Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Teoria bez zadań nic nie da. Plan jest prosty:

1. Przerób przewodnik stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty, żeby ułożyć metody w głowie.
2. Wejdź na stronę działu stereometria i rób zadania jedno po drugim, od najłatwiejszych zamkniętych.
3. Gdy utkniesz, nie zgaduj - wrzuć zadanie do solvera i zobacz rozwiązanie krok po kroku.
4. Na koniec sprawdź się losowym zadaniem z całej bazy, bez wiedzy, jaki to typ, tak jak na prawdziwej maturze.

Jeśli chcesz ćwiczyć tylko za darmo, plan darmowej nauki online masz w tekście zadania maturalne z matematyki online za darmo. A po więcej zadań z geometrii zajrzyj do hubów zadania CKE z planimetrii i zadania CKE z geometrii analitycznej.

FAQ - zadania CKE ze stereometrii

Ile zadań ze stereometrii jest na maturze?
Zwykle kilka: 2-3 zamknięte i często jedno otwarte na 4-5 punktów. To jeden z najlepiej punktujących działów, jeśli opanujesz schemat z kątami.

Czy te zadania są darmowe?
Zadania zamknięte CKE i przewodniki są dostępne za darmo. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje abonament Premium - ceny sprawdzisz na stronie płatności.

Od czego zacząć, jeśli nie ogarniam stereometrii?
Od liczenia krawędzi i objętości z gotowych wymiarów - to pewne punkty bez wyobraźni przestrzennej. Dopiero potem przejdź do kątów nachylenia.

Jak nie mylić kątów nachylenia?
Zapamiętaj jedno zdanie: krawędź boczna opiera się na promieniu opisanym $R$, a ściana boczna na promieniu wpisanym $r$. Zawsze narysuj odpowiedni trójkąt prostokątny.

Czy wystarczy znać wzory z tablic?
Wzory na objętość i pole masz w tablicach, ale to ty musisz wskazać właściwy trójkąt i kąt. Wzór nie zrobi tego za ciebie.

Podsumowanie

Stereometria to dział, w którym da się zgarnąć dużo pewnych punktów, jeśli opanujesz kilka schematów: wzory na liczbę krawędzi i ścian, podwójny Pitagoras dla przekątnej, rozkład przekroju osiowego na trójkąty oraz - najważniejsze - różnicę między promieniem opisanym $R$ (krawędź) a wpisanym $r$ (ściana). Masz tu komplet zadań CKE z rozwiązaniami - zacznij od strony działu, a gdy utkniesz, solver doprowadzi cię do "aha". Powodzenia.