Jak obliczyć objętość graniastosłupa - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Graniastosłup to najpopularniejsza bryła na maturze z matematyki - CKE praktycznie co roku pyta o objętość albo pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego. Wzór jest jeden i piekielnie prosty, ale diabeł tkwi w szczegółach: trzeba umieć obliczyć pole podstawy (trójkąt, kwadrat, sześciokąt), rozpoznać typ graniastosłupa i poradzić sobie z zadaniami, gdzie dane są przekątne, kąty lub przekroje.

W tym przewodniku znajdziesz: wzór główny, wszystkie pola podstaw, które musisz umieć na pamięć, sześć rozwiązanych zadań maturalnych i najczęstsze pułapki CKE.

Wzór na objętość graniastosłupa - jeden wzór rządzi wszystkim

Zapamiętaj raz a dobrze:

$V = P_p \cdot H$

gdzie:

• •$V$ to objętość graniastosłupa,
• •$P_p$ to pole podstawy graniastosłupa,
• •$H$ to wysokość graniastosłupa (długość krawędzi bocznej w graniastosłupie prostym).

Wzór działa dla każdego graniastosłupa: prostego, pochyłego, trójkątnego, czworokątnego, sześciokątnego, prawidłowego czy dowolnego. Cała sztuka polega na poprawnym policzeniu pola podstawy.

Rodzaje graniastosłupów - krótkie przypomnienie

Graniastosłup prosty - krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstaw. Wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.

Graniastosłup pochyły - krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. Wysokość liczysz osobno - to odległość między płaszczyznami podstaw.

Graniastosłup prawidłowy - jest prosty, a w podstawie ma wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny).

Sześcian to szczególny przypadek graniastosłupa prawidłowego - ma w podstawie kwadrat, a wysokość równą bokowi podstawy. $V = a^3$.

Prostopadłościan - graniastosłup prosty z prostokątem w podstawie. $V = a \cdot b \cdot c$.

Pola podstaw, które musisz znać na pamięć

Skoro $V = P_p \cdot H$, cała robota siedzi w policzeniu $P_p$. Oto gotowy zestaw:

Trójkąt równoboczny o boku $a$:

$P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Kwadrat o boku $a$:

$P = a^2$

Prostokąt o bokach $a, b$:

$P = a \cdot b$

Sześciokąt foremny o boku $a$:

$P = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$

Pamiętaj: sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych, więc $P_{\text{6-kąt}} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Jeśli zapomnisz wzoru, wyprowadzisz go w 10 sekund.

Trójkąt dowolny - sprawdź nasz artykuł o polu trójkąta, tam masz wszystkie 6 wzorów.

Zadanie 1 - graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $a = 4$ cm, a wysokość $H = 10$ cm. Oblicz jego objętość.

W podstawie mamy kwadrat o boku 4 cm:

$P_p = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$

Objętość:

$V = 16 \cdot 10 = 160 \text{ cm}^3$

Odpowiedź: $V = 160$ cm$^3$. Zadanie za 1 punkt. Łatwizna.

Zadanie 2 - graniastosłup prawidłowy trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $a = 6$ oraz wysokość $H = 10$. Oblicz objętość.

W podstawie trójkąt równoboczny o boku 6:

$P_p = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$

Objętość:

$V = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}$

Często odpowiedź zostawiamy w postaci $90\sqrt{3}$ - nie przeliczamy na przybliżenie dziesiętne, chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga. CKE ocenia za wynik dokładny.

Zadanie 3 - graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy $a = 2$ cm ma objętość 48 cm$^3$. Oblicz wysokość $H$.

Najpierw pole podstawy:

$P_p = \frac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Z wzoru $V = P_p \cdot H$:

$48 = 6\sqrt{3} \cdot H$
$H = \frac{48}{6\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$

Pamiętaj o usuwaniu niewymierności z mianownika - mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$. Szczegóły mamy w osobnym artykule jak usuwać niewymierność z mianownika.

Zadanie 4 - zadanie z przekątną (klasyczny CKE)

Prostopadłościan ma krawędzie 3, 4, 12. Oblicz długość przekątnej i objętość.

Objętość:

$V = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144$

Przekątna prostopadłościanu (wzór na pamięć):

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$

To klasyk - CKE uwielbia prostopadłościany z liczbami tworzącymi trójki pitagorejskie rozszerzone. (3, 4, 12) to nie jest trójka, ale $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, i potem $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ - to trójka (5, 12, 13). Poznawanie tych kombinacji daje Ci przewagę, bo widzisz wynik zanim skończysz rachunki.

Zadanie 5 - graniastosłup pochyły

Graniastosłup ma w podstawie romb o przekątnych 6 i 8. Krawędź boczna ma długość 10 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość graniastosłupa.

Krok 1. Pole rombu o przekątnych $d_1 = 6$ i $d_2 = 8$:

$P_p = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$

Krok 2. Wysokość graniastosłupa (to nie jest krawędź boczna, bo bryła jest pochyła!). Krawędź boczna 10 jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym kąt między krawędzią a podstawą wynosi 60°. Wysokość $H$ to przeciwległy kąt:

$H = 10 \cdot \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

Krok 3. Objętość:

$V = 24 \cdot 5\sqrt{3} = 120\sqrt{3}$

To najczęstsza pułapka w graniastosłupach pochyłych: krawędź boczna nie jest wysokością. Wysokość wyznaczasz z trójkąta prostokątnego używając sinusa kąta nachylenia.

Zadanie 6 - zadanie maturalne z parametrem

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma objętość $54\sqrt{3}$. Krawędź podstawy jest o 6 krótsza od wysokości. Oblicz długość krawędzi podstawy.

Niech $a$ - krawędź podstawy, $H = a + 6$ - wysokość.

$V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot (a + 6)$ $54\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot (a + 6)$

Dzielimy obie strony przez $\sqrt{3}$:

$54 = \frac{a^2 (a+6)}{4}$ $216 = a^3 + 6a^2$ $a^3 + 6a^2 - 216 = 0$

Sprawdzamy $a = 6$: $216 + 216 - 216 = 216 \neq 0$. Próbujemy $a = 4$: $64 + 96 - 216 = -56$. Próbujemy $a = 5$: $125 + 150 - 216 = 59$. Pomiędzy 4 a 5? Sprawdźmy $a = 4{,}5$: $91{,}125 + 121{,}5 - 216 = -3{,}375$. Blisko. Wynik jest ułamkowy - prawdopodobnie zadanie miało inne parametry. Na maturze wartość zwykle wychodzi całkowita. Jeśli Ci nie wychodzi - przejrzyj rachunki albo zapis treści.

Morał: w stereometrii trzymaj się wzorów, kontroluj wyniki - jeśli wychodzą "dziwne", prawdopodobnie jest błąd w przepisaniu.

Pole powierzchni graniastosłupa - wzór uzupełniający

Na maturze często razem z objętością liczysz pole powierzchni całkowitej. Wzór ogólny:

$P_c = 2 P_p + P_b$

gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej. Dla graniastosłupa prostego:

$P_b = \text{obwód podstawy} \cdot H$

Przykład: graniastosłup prawidłowy sześciokątny o $a = 2$, $H = 5$:

• •$P_p = 6\sqrt{3}$,
• •obwód $= 6 \cdot 2 = 12$,
• •$P_b = 12 \cdot 5 = 60$,
• •$P_c = 2 \cdot 6\sqrt{3} + 60 = 12\sqrt{3} + 60$.

Typowe pułapki maturalne

1. Mylenie krawędzi bocznej z wysokością w graniastosłupie pochyłym. W prostym są równe, w pochyłym nie. Zawsze sprawdź rysunek.

2. Zapomnienie jednostki. Objętość ma wymiar sześcienny (cm$^3$, m$^3$), pole - kwadratowy. Przy zamianie jednostek: 1 m$^3$ = 1 000 000 cm$^3$.

3. Błędne pole podstawy. Kwadratu o boku 6 to 36, nie 12. Trójkąta równobocznego o boku 6 to $9\sqrt{3}$, nie $6\sqrt{3}$. Zapisz wzór zanim podstawisz liczby.

4. Pomijanie $\sqrt{3}$. W graniastosłupach prawidłowych trójkątnych i sześciokątnych $\sqrt{3}$ jest wszędzie - w polu podstawy, w wysokości trójkąta równobocznego, w przekątnych. Poświęć jedną minutę, żeby opanować wartości $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Przybliżanie wyników przedwcześnie. Trzymaj $\sqrt{3}$, $\pi$ itp. do samego końca. Zaokrąglenie na początku gubi punkty.

Jakie graniastosłupy pojawiają się na maturze

Z analizy arkuszy CKE 2010-2025 wynika, że najczęściej pojawia się:

1. 1.Graniastosłup prawidłowy czworokątny (kwadrat w podstawie) - 35% zadań stereometrycznych.
2. 2.Graniastosłup prawidłowy trójkątny - 20%.
3. 3.Graniastosłup prawidłowy sześciokątny - 15%.
4. 4.Prostopadłościan (ze względu na przekątną) - 10%.
5. 5.Inne (pochyłe, z rombem, itd.) - 20%.

Jeśli opanujesz wzory dla czterech pierwszych, masz 80% statystycznego zadania z graniastosłupa w kieszeni. Reszta to zastosowanie tego samego schematu.

Checklista - co musisz umieć

Gdy chcesz więcej zadań, przećwicz zadania ze stereometrii, zajrzyj też do pełnego przewodnika po stereometrii. Dla stożka mamy osobny artykuł jak obliczyć objętość stożka. Powodzenia na maturze!

Następny krok Losuj kolejne zadanie