Jak obliczyć pole trójkąta - 6 wzorów, których potrzebujesz na maturze

Dlaczego musisz znać kilka wzorów?

Na maturze pole trójkąta pojawia się w różnych kontekstach. Czasem znasz podstawę i wysokość - super, użyjesz najprostszego wzoru. Ale czasem masz trzy boki, albo dwa boki i kąt, albo współrzędne wierzchołków. Każda sytuacja wymaga innego wzoru.

Dobra wiadomość: na karcie wzorów CKE masz większość z nich. Zła wiadomość: musisz wiedzieć, kiedy który zastosować.

Wzór 1: Podstawowy (podstawa razy wysokość)

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

gdzie $a$ to dowolny bok (podstawa), a $h_a$ to wysokość opuszczona na ten bok.

Kiedy używać: Gdy znasz (lub łatwo obliczysz) długość boku i odpowiadającą mu wysokość.

Zadanie 1

Trójkąt ma podstawę 8 cm i wysokość 5 cm. Oblicz pole.

$$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20 \text{ cm}^2$$

Gotowe. Najprostszy wzór, najprostsze zadanie.

Zadanie 2 - Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 6 cm i 8 cm. Oblicz pole.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są jednocześnie podstawą i wysokością:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2$$

Nie musisz liczyć przeciwprostokątnej (choć to trójka pitagorejska 6-8-10). Polecam też sprawdzić nasz przewodnik po planimetrii.

Wzór 2: Z sinusem kąta (dwa boki i kąt między nimi)

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

gdzie $a$ i $b$ to dwa boki, a $\gamma$ to kąt MIĘDZY nimi.

Kiedy używać: Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Bardzo częsty wzór na maturze.

Zadanie 3

Dwa boki trójkąta mają długości 5 cm i 7 cm, a kąt między nimi wynosi 30°. Oblicz pole.

$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{4} = 8{,}75 \text{ cm}^2$$

Kluczowe: kąt musi być MIĘDZY tymi dwoma bokami. Jeśli kąt jest naprzeciwko jednego z boków, musisz użyć twierdzenia sinusów lub cosinusów żeby najpierw znaleźć brakujące dane.

Wartości sinusów dla kątów 30°, 45°, 60° musisz znać na pamięć:

Pełna tabela jest w naszym przewodniku po trygonometrii.

Wzór 3: Wzór Herona (trzy boki)

Masz trzy boki $a$, $b$, $c$. Najpierw oblicz połowę obwodu:

$$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Potem:

$$P = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

Kiedy używać: Gdy znasz wszystkie trzy boki, ale nie znasz wysokości ani kąta.

Zadanie 4

Trójkąt ma boki 7, 8 i 9 cm. Oblicz pole.

Krok 1: Połowa obwodu:

$$p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$$

Krok 2: Wstaw do wzoru:

$$P = \sqrt{12 \cdot (12 - 7) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}$$ $$P = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83 \text{ cm}^2$$

Wzór Herona wygląda groźnie, ale jest mechaniczny. Oblicz $p$, odejmij kolejno boki, pomnóż, wyciągnij pierwiastek. Przydaje się też do trójkątów podobnych - gdy znasz proporcje boków.

Wzór 4: Ze współrzędnych wierzchołków

Masz wierzchołki $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$:

$$P = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

Kiedy używać: Gdy dane są współrzędne wierzchołków. Typowe dla geometrii analitycznej.

Zadanie 5

Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A(1, 2)$, $B(4, 6)$, $C(7, 1)$.

$$P = \frac{1}{2} |1(6 - 1) + 4(1 - 2) + 7(2 - 6)|$$ $$P = \frac{1}{2} |1 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 7 \cdot (-4)|$$ $$P = \frac{1}{2} |5 - 4 - 28| = \frac{1}{2} \cdot |-27| = \frac{27}{2} = 13{,}5$$

Wartość bezwzględna jest kluczowa - pole jest zawsze dodatnie. Bez modułu mógłbyś dostać liczbę ujemną (zależy od kolejności wierzchołków).

Możesz też użyć metody wyznacznikowej, która daje ten sam wynik:

$$P = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \end{pmatrix} \right|$$

Więcej o wyznacznikach w geometrii analitycznej.

Wzór 5: Z promieniem okręgu opisanego

$$P = \frac{abc}{4R}$$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Kiedy używać: Gdy zadanie podaje promień okręgu opisanego. Rzadziej na maturze, ale warto znać.

Wzór 6: Z promieniem okręgu wpisanego

$$P = p \cdot r$$

gdzie $p$ to połowa obwodu, a $r$ to promień okręgu wpisanego.

Kiedy używać: Gdy znasz obwód i promień okręgu wpisanego. Na maturze pojawia się w zadaniach o okręgach wpisanych/opisanych.

Jak wybrać właściwy wzór - schemat

Zadaj sobie pytania po kolei:

1. Mam współrzędne wierzchołków? -> Wzór 4 (ze współrzędnych)
2. Mam podstawę i wysokość? -> Wzór 1 (podstawowy)
3. Mam dwa boki i kąt między nimi? -> Wzór 2 (z sinusem)
4. Mam trzy boki? -> Wzór 3 (Herona)
5. Mam promień okręgu opisanego/wpisanego? -> Wzór 5 lub 6

Najczęściej na maturze: wzory 1, 2 i 4. Wzór Herona przydaje się rzadziej, ale gdy go potrzebujesz, nie ma alternatywy.

Typowe pułapki

Pułapka 1: Kąt nie jest między bokami

Wzór $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ wymaga kąta MIĘDZY bokami $a$ i $b$. Jeśli kąt jest naprzeciwko jednego z boków, wynik będzie błędny.

Pułapka 2: Zapomnienie o $\frac{1}{2}$

Pole trójkąta to POŁOWA iloczynu, nie cały iloczyn. Brak $\frac{1}{2}$ to najczęstszy błąd. Wynik jest wtedy dwa razy za duży.

Pułapka 3: Złe wyciąganie pierwiastka (Heron)

We wzorze Herona masz pierwiastek z iloczynu. $\sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}$ to NIE to samo co $\sqrt{12} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$. Znaczy - algebraicznie to to samo, ale łatwiej się pomylić. Lepiej najpierw pomnóż pod pierwiastkiem, potem upraszczaj. Więcej o błędach rachunkowych.

Pułapka 4: Jednostki

Pole jest w jednostkach kwadratowych. Jeśli boki są w centymetrach, pole jest w cm². Nie zapomnij o $^2$ w odpowiedzi.

Podsumowanie - co musisz umieć

Potrzebujesz więcej praktyki? Sprawdź zadania z planimetrii i przeczytaj nasz kompletny przewodnik z 8 wzorami na pole trójkąta.