Dany jest trójkąt ABC, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y=1/2 x+1, y=7-x oraz y=0. Oblicz pole trójkąta ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 27/2
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-16.png]
Aby obliczyć pole trójkąta, najpierw wyznacza się współrzędne jego wierzchołków, które są punktami przecięcia danych prostych.
## Krok 2: Oznaczenie prostych
- Prosta l₁: y = 1/2 x + 1 - Prosta l₂: y = 7 - x - Prosta l₃: y = 0 (oś OX)
## Krok 3: Znalezienie wierzchołka A (przecięcie l₁ i l₂)
Przyrównuje się równania: 1/2 x + 1 = 7 - x
1/2 x + x = 7 - 1
3/2 x = 6
x = 4
Podstawia się do równania l₂: y = 7 - 4 = 3
Zatem A = (4, 3)
## Krok 4: Znalezienie wierzchołka B (przecięcie l₁ i l₃)
Podstawia się y = 0 do równania l₁: 0 = 1/2 x + 1
1/2 x = -1
x = -2
Zatem B = (-2, 0)
## Krok 5: Znalezienie wierzchołka C (przecięcie l₂ i l₃)
Podstawia się y = 0 do równania l₂: 0 = 7 - x
x = 7
Zatem C = (7, 0)
## Krok 6: Obliczenie pola trójkąta
Korzysta się ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃):
P = 1/2|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
Podstawia się współrzędne A(4, 3), B(-2, 0), C(7, 0):
P = 1/2|4(0 - 0) + (-2)(0 - 3) + 7(3 - 0)|
P = 1/2|0 + (-2)(-3) + 7 · 3|
P = 1/2|0 + 6 + 21|
P = 1/2 · 27 = 27/2
Odpowiedź: Pole trójkąta ABC wynosi 27/2 (jednostek kwadratowych).
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.