Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od 24, w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o 5. Oblicz długość dłuższego boku prostokąta, jeśli jest ona liczbą całkowitą parzystą.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 6
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-21.png]
Oznaczmy długość krótszego boku prostokąta przez x, gdzie x > 0.
Krok 2: Zapisanie warunków zadania
Dłuższy bok jest od krótszego dłuższy o 5, więc ma długość x + 5.
Pole prostokąta wynosi: P = x(x + 5)
Z warunków zadania: x(x + 5) < 24
Krok 3: Rozwiązanie nierówności
Rozwijamy: x² + 5x < 24
x² + 5x - 24 < 0
Szukamy pierwiastków równania x² + 5x - 24 = 0: Δ= 25 + 96 = 121 = 11²
x₁ = (-5 - 11)/2 = -16/2 = -8
x₂ = (-5 + 11)/2 = 6/2 = 3
Krok 4: Określenie przedziału rozwiązań
Parabola y = x² + 5x - 24 jest ujemna między pierwiastkami, czyli: x ∈ (-8, 3)
Ponieważ x > 0 (długość boku), otrzymujemy: x ∈ (0, 3)
Krok 5: Znalezienie dłuższego boku
Dłuższy bok ma długość x + 5, więc: x + 5 ∈ (5, 8)
ponieważ x ∈ (0, 3).
Krok 6: Wybór odpowiedzi
Dłuższy bok musi być liczbą całkowitą parzystą z przedziału (5, 8).
Liczby całkowite z tego przedziału to: 6, 7.
Jedyną liczbą parzystą jest 6.
Weryfikacja: - Jeśli dłuższy bok = 6, to krótszy bok = 1 - Pole = 1 · 6 = 6 < 24 ✓
Odpowiedź: 6
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.