Dany jest zbiór A={1,2,...,2n,2n+1}, gdzie n ≥ 1, złożony z 2n+1 kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że liczba wszystkich par (a,b) takich, że a ∈ A, b ∈ A i a ≠ b oraz suma a+b jest nieparzysta, jest większa od liczby par, których suma jest parzysta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że par o sumie nieparzystej jest więcej
Oznaczmy przez N liczbę par o sumie nieparzystej, a przez P liczbę par o sumie parzystej.
## Krok 1: Analiza parzystości elementów zbioru A
Zbiór A = {1, 2, 3, ..., 2n, 2n+1} zawiera 2n+1 kolejnych liczb naturalnych.
Liczby nieparzyste w A: 1, 3, 5, ..., 2n+1 - jest ich n+1
Liczby parzyste w A: 2, 4, 6, ..., 2n - jest ich n
## Krok 2: Warunki na parzystość sumy
Suma a+b jest nieparzysta ⇔ jedna z liczb jest parzysta, a druga nieparzysta
Suma a+b jest parzysta ⇔ obie liczby są parzyste lub obie są nieparzyste
## Krok 3: Obliczenie liczby par o sumie nieparzystej
Aby suma była nieparzysta, musimy wybrać: - jedną liczbę nieparzystą (spośród n+1 liczb) oraz - jedną liczbę parzystą (spośród n liczb)
Ponieważ pary są uporządkowane (a,b) z warunkiem a ≠ b:
N = (n+1) · n + n · (n+1) = 2n(n+1)
## Krok 4: Obliczenie liczby par o sumie parzystej
Przypadek 1: Obie liczby nieparzyste
Wybieramy 2 różne liczby z n+1 nieparzystych, z uwzględnieniem kolejności: P₁ = (n+1) · n
Przypadek 2: Obie liczby parzyste
Wybieramy 2 różne liczby z n parzystych, z uwzględnieniem kolejności: P₂ = n · (n-1)
Zatem: P = (n+1)n + n(n-1) = n(n+1+n-1) = n · 2n = 2n²
## Krok 5: Porównanie N i P
Musimy wykazać, że N > P:
N - P = 2n(n+1) - 2n² = 2n² + 2n - 2n² = 2n
Ponieważ n ≥ 1, to: N - P = 2n ≥ 2 > 0
Zatem N > P, co kończy dowód.
## Podsumowanie
Liczba par o sumie nieparzystej (N = 2n(n+1)) jest większa od liczby par o sumie parzystej (P = 2n²) o dokładnie 2n, co wynika z tego, że w zbiorze A jest o jedną więcej liczb nieparzystych niż parzystych.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.