W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest 2 razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę podstawę. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 60°
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-107.png]
Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako a, a wysokość ostrosłupa jako h.
Dane: a = 2h
Szukane: Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.
Krok 2: Analiza geometrii ostrosłupa
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym: - podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a - wysokość ostrosłupa pada do środka podstawy (punkt S) - kąt nachylenia ściany bocznej mierzymy jako kąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy
Krok 3: Znajdowanie kąta nachylenia
Kąt nachylenia ściany bocznej to kąt między: - wysokością ostrosłupa - wysokością ściany bocznej opuszczoną z wierzchołka na krawędź podstawy
Potrzebujemy odległości od środka podstawy S do środka krawędzi podstawy. Nazwijmy ten punkt M.
Krok 4: Obliczenie odległości SM
W trójkącie równobocznym o boku a, odległość od środka do środka boku to promień okręgu wpisanego:
r = a/(2√(3)) = a√(3)/6
Możemy też użyć wzoru: dla trójkąta równobocznego promień okręgu wpisanego to r = a√(3)/6.
Krok 5: Rozważenie trójkąta prostokątnego
W płaszczyźnie przechodzącej przez: - wierzchołek ostrosłupa W - środek podstawy S - środek krawędzi podstawy M
otrzymujemy trójkąt prostokątny WSM, gdzie: - WS = h (wysokość ostrosłupa) - SM = a√(3)/6 (odległość od środka do środka boku) - kąt α przy wierzchołku M to szukany kąt nachylenia ściany
Krok 6: Obliczenie kąta
tan α= WS/SM = h/(a√(3)/6) = 6h/a√(3)
Podstawiamy a = 2h:
tan α= 6h/(2h√(3)) = 6/(2√(3)) = 3/√(3) = 3√(3)/3 = √(3)
Krok 7: Wyznaczenie kąta
tan α= √(3)
α= 60°
Odpowiedź: Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.