Autobus nazywamy przepełnionym, jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej 50 pasażerów. Dwóch inspektorów monitoruje liczbę pasażerów w tych samych dziesięciu autobusach. Jeden z nich obliczył, jaki procent wszystkich autobusów stanowią autobusy przepełnione, a drugi - jaki procent wszystkich pasażerów w 10 autobusach stanowili pasażerowie podróżujący przepełnionymi pojazdami. Wiadomo, że liczba autobusów przepełnionych należy do zbioru {1,2,...,9}. Który z inspektorów otrzymał większą liczbę?
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: drugi inspektor
Oznaczymy: - k - liczba autobusów przepełnionych, gdzie k ∈ {1, 2, ..., 9} - 10 - k - liczba autobusów nieprzepełnionych
## Inspektor pierwszy
Oblicza procent autobusów przepełnionych: P₁ = k/10 · 100% = 10k%
## Inspektor drugi
Oblicza procent pasażerów w autobusach przepełnionych.
Oznaczmy: - n_i - liczba pasażerów w i-tym autobusie przepełnionym (n_i ≥ 50) - m_j - liczba pasażerów w j-tym autobusie nieprzepełnionym (m_j < 50)
P₂ = _(i=1)^k n_i/(_(i=1)^k n_i + _(j=1)^(10-k) m_j) · 100%
## Porównanie P₁ i P₂
Musimy porównać: k/10 z _(i=1)^k n_i/(_(i=1)^k n_i + _(j=1)^(10-k) m_j)
Oznaczmy S = _(i=1)^k n_i (suma pasażerów w autobusach przepełnionych) oraz T = _(j=1)^(10-k) m_j (suma pasażerów w autobusach nieprzepełnionych).
Warunek P₂ > P₁ jest równoważny: S/(S+T) > k/10
Przekształcamy: 10S > k(S+T) 10S > kS + kT 10S - kS > kT S(10-k) > kT S/k > T/(10-k)
## Interpretacja
Lewa strona S/k to średnia liczba pasażerów w autobusie przepełnionym.
Prawa strona T/(10-k) to średnia liczba pasażerów w autobusie nieprzepełnionym.
## Analiza nierówności
W autobusach przepełnionych: każdy ma co najmniej 50 pasażerów, więc: S/k ≥ 50
W autobusach nieprzepełnionych: każdy ma mniej niż 50 pasażerów, więc: T/(10-k) < 50
## Wniosek
Ponieważ: S/k ≥ 50 > T/(10-k)
nierówność S/k > T/(10-k) jest zawsze spełniona dla k ∈ {1, 2, ..., 9}.
Zatem P₂ > P₁, co oznacza, że drugi inspektor otrzymał większą liczbę.
Procenty: Obliczenia procentowe, punkty procentowe, podwyżki i obniżki cen, procent składany oraz zadania o lokatach i podatkach.