W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 6. Cosinus kąta α między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy 2/5. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 40π
Oznaczmy: - r - promień podstawy stożka - l - długość tworzącej stożka - α - kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy
## Krok 1: Zapisanie danych z treści zadania
Z treści mamy: l - r = 6
cos α= 2/5
## Krok 2: Geometryczna interpretacja cosinusa
W trójkącie prostokątnym utworzonym przez: - tworzącą l (przeciwprostokątna) - promień podstawy r (przyprostokątna przy kącie α) - wysokość stożka h (druga przyprostokątna)
zachodzi: cos α= r/l
## Krok 3: Wyznaczenie zależności między r i l
Z warunku cos α= 2/5: r/l = 2/5
Stąd: r = 2l/5
## Krok 4: Obliczenie długości tworzącej
Podstawiamy r = 2l/5 do równania l - r = 6: l - 2l/5 = 6
(5l - 2l)/5 = 6
3l/5 = 6
l = 10
## Krok 5: Obliczenie promienia podstawy
r = 2 · 10/5 = 4
## Krok 6: Obliczenie pola powierzchni bocznej
Wzór na pole powierzchni bocznej stożka: P_(boczne) = πr l
Podstawiamy r = 4 i l = 10: P_(boczne) = π · 4 · 10 = 40π
Odpowiedź: 40π
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.