Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: 6, 4, 4. Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z czwartej klasówki, jeżeli odchylenie standardowe otrzymanych ocen jest równe √(11/16).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 5
Oznaczmy ocenę z czwartej klasówki jako x.
Krok 1: Wypisanie danych
Oceny: 6, 4, 4, x
Odchylenie standardowe: σ= √(11/16)
Krok 2: Obliczenie średniej arytmetycznej
x = (6 + 4 + 4 + x)/4 = (14 + x)/4
Krok 3: Wzór na odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru:
σ= √(((6-x)² + (4-x)² + (4-x)² + (x-x)²)/4)
Krok 4: Podstawienie do wzoru
√(11/16) = √(((6-x)² + 2(4-x)² + (x-x)²)/4)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
11/16 = ((6-x)² + 2(4-x)² + (x-x)²)/4
11/4 = (6-x)² + 2(4-x)² + (x-x)²
Krok 5: Podstawienie x = (14+x)/4
Wyrażamy odchylenia od średniej:
- 6 - x = 6 - (14+x)/4 = (24-14-x)/4 = (10-x)/4 - 4 - x = 4 - (14+x)/4 = (16-14-x)/4 = (2-x)/4 - x - x = x - (14+x)/4 = (4x-14-x)/4 = (3x-14)/4
Krok 6: Podstawienie do równania
11/4 = ((10-x)/4)² + 2((2-x)/4)² + ((3x-14)/4)²
11/4 = ((10-x)² + 2(2-x)² + (3x-14)²)/16
44 = (10-x)² + 2(2-x)² + (3x-14)²
Krok 7: Rozwinięcie kwadratów
- (10-x)² = 100 - 20x + x² - (2-x)² = 4 - 4x + x² - (3x-14)² = 9x² - 84x + 196
44 = 100 - 20x + x² + 2(4 - 4x + x²) + 9x² - 84x + 196
44 = 100 - 20x + x² + 8 - 8x + 2x² + 9x² - 84x + 196
44 = 12x² - 112x + 304
Krok 8: Rozwiązanie równania kwadratowego
12x² - 112x + 260 = 0
3x² - 28x + 65 = 0
Δ= 784 - 780 = 4
x = (28 ± 2)/6
x = 5 lub x = 13/3
Ponieważ oceny są liczbami naturalnymi (w skali 1-6), wybieramy x = 5.
Odpowiedź: 5
Statystyka: Średnia, mediana, dominanta i odchylenie standardowe oraz odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów.