W sześcianie ABCDA₁B₁C₁D₁ przekątna AC₁ tworzy z płaszczyzną ABCD kąt α. Punkty L i J są odpowiednio środkami krawędzi DD₁ i BB₁ oraz |∢LAJ|=2β. Uzasadnij, że cosα=tg β.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że cosα= tgβ
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-106.png]
Przyjmuje się układ współrzędnych z wierzchołkiem A w początku układu.
## Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych
Niech krawędź sześcianu ma długość a. Umieszczam: - A = (0, 0, 0) - B = (a, 0, 0) - C = (a, a, 0) - D = (0, a, 0) - A₁ = (0, 0, a) - B₁ = (a, 0, a) - C₁ = (a, a, a) - D₁ = (0, a, a)
## Krok 3: Wyznaczenie współrzędnych punktów L i J
L jest środkiem DD₁: L = (D + D₁)/2 = ((0,a,0) + (0,a,a))/2 = (0, a, a/2)
J jest środkiem BB₁: J = (B + B₁)/2 = ((a,0,0) + (a,0,a))/2 = (a, 0, a/2)
## Krok 4: Obliczenie kąta α
Przekątna AC₁ łączy punkty A = (0,0,0) i C₁ = (a,a,a).
Wektor AC₁ = (a, a, a).
Rzut C₁ na płaszczyznę ABCD to punkt C = (a, a, 0).
Kąt α między AC₁ a płaszczyzną ABCD spełnia: sinα= |CC₁|/|AC₁| = a/(√(a² + a² + a²)) = a/a√(3) = 1/√(3)
Zatem: cosα= √(1 - sin²α) = √(1 - 1/3) = √(2/3) = √(2)/√(3)
## Krok 5: Obliczenie kąta 2β
Wektory z punktu A: AL = (0, a, a/2) AJ = (a, 0, a/2)
Oblicza się iloczyn skalarny: AL · AJ = 0 · a + a · 0 + a/2 · a/2 = a²/4
Długości wektorów: |AL| = √(0² + a² + a²/4) = √(5a²/4) = a√(5)/2 |AJ| = √(a² + 0² + a²/4) = √(5a²/4) = a√(5)/2
Kąt 2β: cos(2β) = AL · AJ/(|AL| · |AJ|) = a²/4/(a√(5)/2 · a√(5)/2) = a²/4/(5a²/4) = 1/5
## Krok 6: Wyznaczenie tgβ
Z wzoru: cos(2β) = (1 - tg²β)/(1 + tg²β)
Podstawia się cos(2β) = 1/5: 1/5 = (1 - tg²β)/(1 + tg²β)
1 + tg²β= 5(1 - tg²β) 1 + tg²β= 5 - 5tg²β 6tg²β= 4 tg²β= 2/3
Zatem: tgβ= √(2/3) = √(2)/√(3)
## Wniosek
cosα= √(2)/√(3) = tgβ
co należało udowodnić. ∎
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.