Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF, którego środkiem symetrii jest punkt O=(3,-√(3)), a wierzchołek A ma współrzędne A=(1,-3√(3)). Wiadomo, że punkt P=(4,-2√(3)) jest środkiem odcinka BO. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego sześciokąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A = (1 ; -3√(3))B = (5 ; -3√(3))C = (7 ; -√(3))D = (5 ; √(3))E = (1 ; √(3))F = (-1 ; -√(3))
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-88.png]
## Krok 2: Znajdź współrzędne wierzchołka B
Jeśli punkt P=(4,-2√(3)) jest środkiem odcinka BO, to:
P = (B + O)/2
Podstawiając dane O=(3,-√(3)) i P=(4,-2√(3)):
(4,-2√(3)) = (B + (3,-√(3)))/2
Mnożąc obie strony przez 2:
(8,-4√(3)) = B + (3,-√(3))
Zatem:
B = (8,-4√(3)) - (3,-√(3)) = (5,-3√(3))
## Krok 3: Znajdź promień i kąt dla wierzchołka A
Obliczamy odległość |OA|:
|OA| = √((1-3)² + (-3√(3)-(-√(3)))²) = √(4 + (-2√(3))²) = √(4 + 12) = 4
Kąt wierzchołka A względem środka O:
OA = (1-3, -3√(3)+√(3)) = (-2, -2√(3))
α_A = arctg(-2√(3)/-2) = arctg(√(3))
Ponieważ obie współrzędne są ujemne, punkt leży w III ćwiartce:
α_A = 180° + 60° = 240°
## Krok 4: Sprawdź kąt dla wierzchołka B
OB = (5-3, -3√(3)+√(3)) = (2, -2√(3))
|OB| = √(4 + 12) = 4
α_B = arctg(-2√(3)/2) = arctg(-√(3)) = -60° = 300°
Różnica: 300° - 240° = 60°, co potwierdza, że B jest kolejnym wierzchołkiem.
## Krok 5: Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków
W sześciokącie foremnym kolejne wierzchołki są odległe o 60°. Wzór na wierzchołek pod kątem α:
V = O + 4(cosα, sinα) = (3 + 4cosα, -√(3) + 4sinα)
Wierzchołek C (α_C = 360° = 0°): C = (3 + 4 · 1, -√(3) + 4 · 0) = (7, -√(3))
Wierzchołek D (α_D = 60°): D = (3 + 4 · 1/2, -√(3) + 4 · √(3)/2) = (3 + 2, -√(3) + 2√(3)) = (5, √(3))
Wierzchołek E (α_E = 120°): E = (3 + 4 · (-1/2), -√(3) + 4 · √(3)/2) = (3 - 2, -√(3) + 2√(3)) = (1, √(3))
Wierzchołek F (α_F = 180°): F = (3 + 4 · (-1), -√(3) + 4 · 0) = (3 - 4, -√(3)) = (-1, -√(3))
## Odpowiedź końcowa
A = (1, -3√(3)) B = (5, -3√(3)) C = (7, -√(3)) D = (5, √(3)) E = (1, √(3)) F = (-1, -√(3))
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.