Punkty A=(7,6) i B=(1,-2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Promień koła opisanego na tym trójkącie jest równy
Odpowiedzi do wyboru
- A.5√(3)/6
- B.5√(3)/3
- C.10√(3)/6
- D.10√(3)/3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-112.png]
Wyznacza się promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC.
## Krok 2: Oblicza się długość boku AB
Używa się wzoru na odległość między punktami:
|AB| = √((7-1)² + (6-(-2))²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √(100) = 10
## Krok 3: Wykorzystuje się wzór na promień okręgu opisanego
Dla trójkąta równobocznego o boku a promień okręgu opisanego wynosi:
R = a/√(3)
Można to wyprowadzić ze wzoru ogólnego R = a/(2sinα), gdzie α jest kątem leżącym naprzeciwko boku a.
W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę 60°, więc:
R = a/(2sin 60°) = a/(2 · √(3)/2) = a/√(3)
## Krok 4: Oblicza się promień
Podstawia się a = 10:
R = 10/√(3)
## Krok 5: Wymiernianie mianownika
Mnoży się licznik i mianownik przez √(3):
R = 10/√(3) · √(3)/√(3) = 10√(3)/3
Odpowiedź: D
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.