W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej jest równy 30° . Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 2√(2). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(15)/5
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-101.png]
## Krok 2: Ustalenie oznaczeń i analiza danych
Niech ostrosłup ma podstawę ABCD (kwadrat) i wierzchołek S. Oznaczmy: - a = długość boku podstawy - H = wysokość ostrosłupa - O = środek podstawy (przecięcie przekątnych)
Dane: - Promień okręgu opisanego na podstawie: R = 2√2 - Kąt między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej: 30°
## Krok 3: Znalezienie boku podstawy
Dla kwadratu o boku a przekątna wynosi d = a√(2).
Promień okręgu opisanego na kwadracie to połowa przekątnej:
R = d/2 = a√(2)/2
Podstawiając R = 2√2:
2√(2) = a√(2)/2
a = 4
## Krok 4: Analiza kąta między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej
Niech M będzie środkiem boku AB. Wysokość ściany bocznej SAB to odcinek SM.
W trójkącie SOM: - SO = H (wysokość ostrosłupa, prostopadła do podstawy) - OM ⊥ AB (odległość od środka kwadratu do środka boku) - SM to wysokość ściany bocznej
Odległość OM od środka kwadratu do środka boku:
OM = a/2 = 4/2 = 2
## Krok 5: Wykorzystanie kąta 30°
Kąt ∠OSM = 30° (kąt między SO a SM).
W trójkącie prostokątnym SOM (prostokątny w O):
tan(30°) = OM/SO = OM/H
1/√(3) = 2/H
H = 2√(3)
## Krok 6: Znalezienie sinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej
Krawędź boczna to np. SA, gdzie A jest wierzchołkiem podstawy.
Odległość OA (od środka do wierzchołka kwadratu) to promień okręgu opisanego:
OA = R = 2√(2)
Kąt nachylenia krawędzi SA do podstawy to kąt ∠SAO.
W trójkącie prostokątnym SAO (prostokątny w O):
sin(∠SAO) = SO/SA
Obliczamy SA z twierdzenia Pitagorasa:
SA = √(SO² + OA²) = √((2√(3))² + (2√(2))²)
SA = √(12 + 8) = √(20) = 2√(5)
Zatem:
sin(∠SAO) = 2√(3)/(2√(5)) = √(3)/√(5) = √(3) · √(5)/5 = √(15)/5
Odpowiedź: sin(∠SAO) = √(15)/5
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.