Funkcja f jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < 0 jest przedział (1,5). Rozwiąż nierówność -f(x+3) < 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ (-∞,-2) ∪ (2,+∞)
Rozwiążemy nierówność korzystając z informacji o funkcji f.
Krok 1: Analiza informacji o funkcji f
Skoro f jest funkcją kwadratową i f(x) < 0 dla x ∈ (1,5), to: - Funkcja ma dwa miejsca zerowe: x₁ = 1 i x₂ = 5 - Ramiona paraboli są skierowane w górę (bo funkcja jest ujemna tylko między miejscami zerowymi) - Możemy zapisać: f(x) = a(x-1)(x-5), gdzie a > 0
Krok 2: Przekształcenie nierówności
Mamy rozwiązać: -f(x+3) < 0
Mnożymy obie strony przez -1 (zmienia się znak nierówności): f(x+3) > 0
Krok 3: Określenie, kiedy f(t) > 0
Z kroku 1 wiemy, że f(t) < 0 dla t ∈ (1,5).
Ponieważ parabola ma ramiona skierowane w górę: f(t) > 0 t ∈ (-∞, 1) ∪ (5, +∞)
Krok 4: Zastosowanie warunku dla t = x+3
Podstawiamy t = x+3: f(x+3) > 0 x+3 ∈ (-∞, 1) ∪ (5, +∞)
Krok 5: Rozwiązanie dla każdego przedziału
Przypadek 1: x+3 < 1 x < 1-3 x < -2 x ∈ (-∞, -2)
Przypadek 2: x+3 > 5 x > 5-3 x > 2 x ∈ (2, +∞)
Odpowiedź końcowa: x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, +∞)
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.