Kalkulator funkcji kwadratowej
Funkcję kwadratową analizuje się zawsze w tej samej kolejności: najpierw wyróżnik Δ = b² - 4ac, potem miejsca zerowe, a na końcu wierzchołek paraboli. Znak współczynnika a mówi, w którą stronę otwierają się ramiona, a znak delty rozstrzyga, ile razy wykres przecina oś liczbową. Kalkulator wyżej liczy wszystkie te wartości naraz i pokazuje każde podstawienie.
Δ = 1
Miejsca zerowe: x₁ = 2, x₂ = 3
Wierzchołek: W = (2,5; -0,25)
Ramiona paraboli skierowane w górę, zbiór wartości: ⟨-0,25; +∞)
Funkcja maleje w przedziale (-∞; 2,5⟩ i rośnie w przedziale ⟨2,5; +∞).
Postać kanoniczna: f(x) = (x - 2,5)² - 0,25
Postać iloczynowa: f(x) = (x - 2)(x - 3)
- WyróżnikΔ= b² - 4ac = (-5)² - 4 · (1) · (6) = 1
- Miejsca zerowex_(1,2) = (-b ± √(Δ))/(2a) = (5 ± √(1))/2
- Wierzchołekp = -b/(2a) = 2,5, q = -Δ/(4a) = -0,25
Jak to policzyć
- Sprawdź, czy funkcja jest kwadratowaWspółczynnik a musi być różny od zera. Gdy a = 0, ze wzoru zostaje bx + c, czyli funkcja liniowa, i cała procedura z deltą przestaje mieć zastosowanie. To pierwsza rzecz do sprawdzenia w każdym zadaniu z parametrem, bo warunek na parametr prawie zawsze zaczyna się właśnie od wykluczenia zera.
- Policz wyróżnikPodstaw współczynniki do wzoru Δ = b² - 4ac, pilnując znaków. Ujemne b po podniesieniu do kwadratu daje wynik dodatni, a wyrażenie -4ac przy ujemnym c zmienia znak na plus. To miejsce, w którym ginie najwięcej punktów w całym dziale, dlatego kalkulator zapisuje podstawienie z każdą liczbą w nawiasie.
- Odczytaj liczbę miejsc zerowychDelta dodatnia daje dwa pierwiastki liczone ze wzoru z minusem i z plusem przed pierwiastkiem z delty. Delta równa zero daje jeden pierwiastek podwójny równy -b/2a. Delta ujemna oznacza, że parabola nie przecina osi X i pierwiastków rzeczywistych nie ma wcale.
- Wyznacz wierzchołek i postaciePierwsza współrzędna wierzchołka to p = -b/2a, druga to q = -Δ/4a. Stąd bierze się postać kanoniczna a(x - p)² + q, a przy delcie nieujemnej także postać iloczynowa. Z wierzchołka odczytujesz zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności, czyli dwie rzeczy, o które arkusz pyta najczęściej.
Przykład z matury
Trzy postacie i po co każda z nich
Ta sama funkcja kwadratowa ma trzy zapisy i każdy z nich odpowiada na inne pytanie. Postać ogólna ax² + bx + c jest wygodna do liczenia delty i do odczytania wyrazu wolnego, czyli punktu przecięcia z osią Y. Postać kanoniczna a(x - p)² + q pokazuje wierzchołek wprost, więc z niej odczytuje się wartość najmniejszą albo największą, zbiór wartości i oś symetrii. Postać iloczynowa a(x - x₁)(x - x₂) pokazuje miejsca zerowe i jest jedynym zapisem, z którego natychmiast widać znak funkcji w każdym przedziale.
W zadaniu maturalnym wybór postaci to zwykle połowa rozwiązania. Pytanie o wartość najmniejszą prowadzi do kanonicznej, pytanie o rozwiązanie nierówności kwadratowej do iloczynowej, a pytanie o współczynniki do ogólnej. Kalkulator podaje wszystkie trzy naraz, żeby dało się sprawdzić, czy przejście między nimi wyszło poprawnie.
Jak czytać znak a i znak delty z samego wykresu
Rysunek paraboli niesie dokładnie dwie informacje o współczynnikach i obie są punktowane. Ramiona skierowane w górę oznaczają a dodatnie, ramiona w dół a ujemne. Liczba punktów wspólnych z osią X to znak delty: dwa punkty to delta dodatnia, jeden punkt styczności to delta równa zero, brak punktów wspólnych to delta ujemna.
Zadania z rysunkiem lubią łączyć te dwa odczyty z trzecim, czyli z położeniem punktu przecięcia z osią Y, bo to jest wprost wyraz wolny c. Mając znak a, znak delty i wartość c, da się rozstrzygnąć większość zadań zamkniętych z tego działu bez liczenia czegokolwiek. Warto też pamiętać, że oś symetrii paraboli ma równanie x = p, więc jeśli rysunek podaje dwa miejsca zerowe, to p jest po prostu ich średnią arytmetyczną.
Funkcja kwadratowa z parametrem
Zadanie z parametrem wygląda groźnie, ale ma stały schemat. Najpierw warunek na to, żeby funkcja w ogóle była kwadratowa, czyli współczynnik przy x² różny od zera. Potem warunek zapisany przez deltę: dwa różne miejsca zerowe to delta dodatnia, jedno to delta równa zero, brak miejsc zerowych to delta ujemna. Na końcu rozwiązanie otrzymanej nierówności z parametrem i część wspólna z warunkiem początkowym.
Kalkulator liczy przypadek liczbowy, więc przy zadaniu z parametrem służy do sprawdzenia: podstaw skrajną wartość parametru z wyznaczonego przedziału i zobacz, czy delta rzeczywiście wychodzi taka, jakiej wymagało polecenie. Więcej przykładów rozpisanych krok po kroku znajdziesz we wpisie o dyskusji zadania z parametrem.
Wynik dokładny z pierwiastkiem, na przykład x₁ = 1 - √5, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator podaje obie postacie właśnie po to, żeby było widać, którą przepisać do zeszytu.
Pułapki maturalne
Delta ujemna to nie jest brak rozwiązania zadania
Ujemny wyróżnik oznacza brak miejsc zerowych, ale funkcja nadal istnieje, ma wierzchołek, zbiór wartości i przedziały monotoniczności. W zadaniach o wartość najmniejszą i największą delta bywa ujemna i nic z tego nie wynika. Odpowiedź mówiąca o braku rozwiązań jest wtedy po prostu nieprawdziwa i nie dostaje punktu.
Postać iloczynowa istnieje tylko przy delcie nieujemnej
Zapis a(x - x₁)(x - x₂) wymaga istnienia pierwiastków. Przy delcie ujemnej postaci iloczynowej nie ma i wypisanie jej jest błędem merytorycznym, nie rachunkowym. Postać kanoniczna istnieje zawsze i to ona jest bezpieczniejszym narzędziem, gdy nie wiesz jeszcze, jaki jest znak delty.
Nawias przy ujemnym współczynniku
Podstawiając b ujemne do wzoru na deltę, trzeba zapisać kwadrat w nawiasie. Bez nawiasu wychodzi liczba przeciwna do prawidłowej i cały dalszy rachunek jest zbudowany na złej wartości, choć każdy kolejny krok wygląda poprawnie. Ten sam nawias obowiązuje przy podstawianiu ujemnego c do wyrażenia -4ac.
Najczęściej zadawane pytania
Deltę liczy się ze wzoru Δ = b² - 4ac, gdzie a, b i c to współczynniki postaci ogólnej ax² + bx + c. Dla funkcji x² - 5x + 6 mamy a = 1, b = -5 oraz c = 6, więc Δ = 25 - 24 = 1.
Ujemna delta oznacza, że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, czyli jej wykres nie przecina osi X. Parabola leży wtedy w całości nad osią, gdy współczynnik a jest dodatni, albo pod nią, gdy a jest ujemne.
Pierwsza współrzędna wierzchołka to p = -b/2a, druga to q = -Δ/4a. Można też podstawić p do wzoru funkcji i obliczyć f(p). Wynik jest ten sam, a rachunek często krótszy, bo nie wymaga wcześniejszego policzenia delty.
Kanoniczna a(x - p)² + q pokazuje położenie wierzchołka i istnieje zawsze. Iloczynowa a(x - x₁)(x - x₂) pokazuje miejsca zerowe i istnieje tylko wtedy, gdy delta jest nieujemna. Obie opisują tę samą funkcję, tylko odpowiadają na inne pytanie.
Na egzaminie maturalnym z matematyki kalkulator naukowy nie jest dozwolony, wolno mieć wyłącznie kalkulator prosty. Deltę i pierwiastki liczy się ręcznie, dlatego to narzędzie pokazuje wszystkie podstawienia: chodzi o sprawdzenie własnego rachunku, a nie o zastąpienie go.