Funkcja kwadratowa na maturze - wzory, wykresy i zadania z rozwiązaniami

Dlaczego funkcja kwadratowa jest tak ważna na maturze?

Funkcja kwadratowa pojawia się na maturze z matematyki co roku, bez wyjątku. Na przestrzeni lat 2020-2026 stanowiła średnio 2-4 zadania na arkusz, co daje 3-6 punktów. Ale to nie wszystko - znajomość funkcji kwadratowej jest potrzebna też w zadaniach z geometrii analitycznej, optymalizacji i nierówności.

Na Sprawnej Maturze masz ponad 120 zadań z funkcji kwadratowej z pełnym rozwiązaniem - więcej niż wystarczająco, żeby opanować ten temat na 100%.

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci $f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a \neq 0$. Można ją zapisać w trzech równoważnych postaciach:

1. Postać ogólna

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Z tej postaci od razu odczytasz:

• •Kierunek ramion paraboli: $a > 0$ - ramiona do góry, $a < 0$ - ramiona do dołu
• •Punkt przecięcia z osią $Oy$: to punkt $(0, c)$

2. Postać kanoniczna

$f(x) = a(x-p)^2 + q$

Z tej postaci odczytasz:

• •Wierzchołek paraboli: $W = (p, q)$
• •Oś symetrii: $x = p$
• •Wartość największa/najmniejsza: $q$ (najmniejsza gdy $a > 0$, największa gdy $a < 0$)

Jak przeliczyć? $p = \frac{-b}{2a}$, $q = \frac{-\Delta}{4a}$

3. Postać iloczynowa

$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$

Z tej postaci odczytasz:

• •Miejsca zerowe: $x_1$ i $x_2$

Ta postać istnieje tylko gdy $\Delta \geq 0$ (funkcja ma miejsca zerowe).

Wyróżnik (delta) - klucz do wszystkiego

$\Delta = b^2 - 4ac$

Delta determinuje liczbę miejsc zerowych:

Wierzchołek paraboli

Współrzędne wierzchołka to najczęściej pytana rzecz na maturze:

$W = \left(\frac{-b}{2a},\; \frac{-\Delta}{4a}\right)$

Warto pamiętać: pierwsza współrzędna wierzchołka to średnia arytmetyczna miejsc zerowych (jeśli istnieją):

$p = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Najczęstsze typy zadań na maturze

Typ 1: Wyznacz wzór funkcji kwadratowej

Przykład z matury czerwiec 2024:

Parabola ma z osiami układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne: $M=(0,18)$ oraz $N=(3,0)$. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej.

Rozwiązanie:

Skoro parabola ma dokładnie 2 punkty wspólne z osiami, to $M=(0,18)$ leży na osi $Oy$ (bo $x=0$) i $N=(3,0)$ leży na osi $Ox$ (bo $y=0$).

Z $M=(0,18)$: $c = 18$
Z $N=(3,0)$: $x=3$ jest jedynym miejscem zerowym (bo parabola ma dokładnie 2 punkty wspólne z osiami - jeden z $Oy$ i jeden z $Ox$)

Skoro $x=3$ to jedyne miejsce zerowe, $\Delta = 0$ i $f(x) = a(x-3)^2$.

Z warunku $f(0)=18$: $a \cdot 9 = 18$, więc $a = 2$.

$f(x) = 2(x-3)^2 = 2x^2 - 12x + 18$

Rozwiąż to zadanie

---

Typ 2: Odczytaj właściwości z wykresu

Przykład z matury maj 2025:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, c)$. Wyznacz...

Ten typ zadania wymaga umiejętności odczytywania właściwości z wykresu i zapisywania funkcji w postaci kanonicznej.

Rozwiąż to zadanie

---

Typ 3: Postać kanoniczna z warunków

Przykład z matury próbnej luty 2026:

Parabola ma oś symetrii $x=2$, przechodzi przez $(5, 0)$, największa wartość wynosi 1.

Rozwiązanie:

Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-2)^2 + 1$ ($a < 0$, bo max = 1)

Z warunku $f(5) = 0$:

$a(5-2)^2 + 1 = 0$
$9a = -1$
$a = -\frac{1}{9}$ $f(x) = -\frac{1}{9}(x-2)^2 + 1$

Rozwiąż to zadanie

---

Typ 4: Przekształcenia wykresu

Przykład z matury grudzień 2024 (próbna CKE):

Funkcja $g(x) = f(x) - 1$. Ile miejsc zerowych ma $g$?

Przesunięcie wykresu o 1 w dół zmienia liczbę miejsc zerowych. Jeśli wierzchołek paraboli miał $q = 0$ (dotyk z osią $Ox$), to po przesunięciu w dół parabola będzie leżeć pod osią i nie będzie mieć miejsc zerowych (dla $a < 0$) lub będzie mieć dwa (dla $a > 0$).

Rozwiąż to zadanie

---

Typ 5: Drugie miejsce zerowe z symetrii

Przykład z matury maj 2023:

Jedno miejsce zerowe to $-5$, współrzędna $x$ wierzchołka to $3$. Jakie jest drugie miejsce zerowe?

Rozwiązanie:

Wierzchołek leży na osi symetrii, która przechodzi dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:

$p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ $3 = \frac{-5 + x_2}{2}$ $x_2 = 11$

Odpowiedź: A ($x_2 = 11$)

To zadanie za 1 punkt, a wymaga tylko jednego wzoru. Typowy "pewniaczek" maturalny.

Rozwiąż to zadanie

Nierówności kwadratowe - rozszerzenie tematu

Na maturze często pojawiają się nierówności z funkcją kwadratową. Schemat rozwiązywania:

1. 1.Sprowadź do postaci $ax^2 + bx + c \gtrless 0$
2. 2.Oblicz deltę i miejsca zerowe
3. 3.Narysuj szkic paraboli
4. 4.Odczytaj rozwiązanie z wykresu

Pamiętaj: Jeśli $a > 0$ (ramiona do góry):

• •$f(x) > 0$ - poza miejscami zerowymi: $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$
• •$f(x) < 0$ - między miejscami zerowymi: $x \in (x_1, x_2)$

Wzory, które musisz znać na pamięć

Większość wzorów jest w tablicach maturalnych, ale te warto mieć w głowie:

Jak ćwiczyć funkcję kwadratową

1. 1.Zacznij od postaci - umiej przechodzić między ogólną, kanoniczną i iloczynową
2. 2.Rozwiąż 10 zadań z delty - to musi być automatyczne
3. 3.Ćwicz odczytywanie z wykresu - CKE uwielbia zadania z rysunkiem
4. 4.Rozwiąż nierówności kwadratowe - to rozszerzenie tematu, ale pojawia się często

Na Sprawnej Maturze masz ponad 120 zadań z funkcji kwadratowej z pełnym rozwiązaniem i filmem wideo. Zacznij od najnowszych i cofaj się w czasie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie