W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której osią symetrii jest prosta x=2. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (5, 0). Największa wartość, jaką osiąga funkcja f na przedziale ⟨0, 2⟩, jest równa 1. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f ma współrzędne: A. (2, 0) B. (2, 1) C. (1, 2) D. (0, 1) b) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Suma miejsc zerowych funkcji f jest równa 6. P F Istnieje taki argument ujemny, dla którego funkcja f przyjmuje wartość dodatnią. P F c) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej to: A. f(x)=-1/9(x-2)²+1 B. f(x)=1/9(x-2)²+1 C. f(x)=-1/9(x+2)²+1 D. f(x)=1/9(x+2)²-1
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) B b) FP c) A
## Wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej
Parabola ma oś symetrii x = 2, więc wierzchołek ma współrzędną x_w = 2.
Zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej: f(x) = a(x - 2)² + q
Warunek 1: Parabola przechodzi przez punkt (5, 0): f(5) = a(5 - 2)² + q = 9a + q = 0
Warunek 2: Największa wartość na ⟨0, 2⟩ wynosi 1.
Skoro oś symetrii to x = 2, wierzchołek paraboli leży na prawym końcu przedziału. Aby maksimum na tym przedziale wynosiło 1, parabola musi być skierowana ramionami w dół (a < 0), a wartość w wierzchołku: f(2) = q = 1
Z warunku 1: 9a + 1 = 0 a = -1/9
Wzór funkcji: f(x) = -1/9(x - 2)² + 1
Sprawdzenie: f(5) = -9/9 + 1 = -1 + 1 = 0
a) Wierzchołek paraboli ma współrzędne W = (2, 1).
Odpowiedź: B
b) Zdanie 1: Suma miejsc zerowych funkcji f jest równa 6.
Miejsca zerowe wyznacza się z równania: -1/9(x - 2)² + 1 = 0 (x - 2)² = 9 x - 2 = ± 3 x₁ = -1, x₂ = 5
Suma miejsc zerowych: -1 + 5 = 4 ≠ 6.
Zdanie 1: FAŁSZ (F)
Zdanie 2: Istnieje taki argument ujemny, dla którego funkcja f przyjmuje wartość dodatnią.
Sprawdza się f(-1) = 0. Sprawdza się np. f(-0,5) = -1/9(-0,5 - 2)² + 1 = -1/9 · 6,25 + 1 = -6,25/9 + 1 ≈ 0,31 > 0.
Istnieje argument ujemny (np. x = -0,5), dla którego f(x) > 0.
Zdanie 2: PRAWDA (P)
Odpowiedź: FP
c) Z obliczeń powyżej wzór w postaci kanonicznej to: f(x) = -1/9(x - 2)² + 1
Odpowiedź: A
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.