W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są cztery okręgi: o₁, o₂, o₃, o₄, o równaniach: o₁:(x-1)²+(y-2)²=2 o₂:(x+3)²+(y+1)²=8 o₃:(x-3)²+(y-2)²=9 o₄:(x-2)²+(y+3)²=10 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okręgiem, który ma dokładnie 3 punkty wspólne z osiami układu współrzędnych (x, y), jest
Odpowiedzi do wyboru
- A.o₁
- B.o₂
- C.o₃
- D.o₄
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2026-32.png]
Trzeba sprawdzić, który okrąg ma dokładnie 3 punkty wspólne z osiami układu współrzędnych.
Okrąg ma punkty wspólne z osiami, gdy: - przecina oś x (gdzie y = 0) - przecina oś y (gdzie x = 0)
Sprawdza się okrąg o₁: (x-1)² + (y-2)² = 2
Środek: S₁(1, 2), promień: r₁ = √(2)
Punkty z osią x (y = 0): (x-1)² + (0-2)² = 2 (x-1)² + 4 = 2 (x-1)² = -2
Brak rozwiązań (0 punktów z osią x).
Sprawdza się okrąg o₂: (x+3)² + (y+1)² = 8
Środek: S₂(-3, -1), promień: r₂ = 2√(2)
Punkty z osią x (y = 0): (x+3)² + 1 = 8 (x+3)² = 7 x = -3 ± √(7)
2 punkty z osią x.
Punkty z osią y (x = 0): 9 + (y+1)² = 8 (y+1)² = -1
Brak rozwiązań (0 punktów z osią y).
Razem: 2 punkty.
Sprawdza się okrąg o₃: (x-3)² + (y-2)² = 9
Środek: S₃(3, 2), promień: r₃ = 3
Punkty z osią x (y = 0): (x-3)² + 4 = 9 (x-3)² = 5 x = 3 ± √(5)
2 punkty z osią x.
Punkty z osią y (x = 0): 9 + (y-2)² = 9 (y-2)² = 0 y = 2
1 punkt z osią y: (0, 2).
Razem: 3 punkty.
Sprawdza się okrąg o₄: (x-2)² + (y+3)² = 10
Środek: S₄(2, -3), promień: r₄ = √(10)
Punkty z osią x (y = 0): (x-2)² + 9 = 10 (x-2)² = 1 x = 1 lub x = 3
2 punkty z osią x.
Punkty z osią y (x = 0): 4 + (y+3)² = 10 (y+3)² = 6 y = -3 ± √(6)
2 punkty z osią y.
Razem: 4 punkty.
Odpowiedź: C
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.