W wyniku przeprowadzonej analizy pewnego przedsiębiorstwa ustalono, że zysk z produkcji jest zależny od liczby zatrudnionych pracowników i wyraża się następującym wzorem: Z(x)=17/29 x(130-x) gdzie: x - liczba zatrudnionych pracowników Z - miesięczny zysk z produkcji przedsiębiorstwa Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miesięczny zysk z produkcji przedsiębiorstwa będzie największy, jeżeli liczba zatrudnionych pracowników wyniesie
Odpowiedzi do wyboru
- A.58
- B.65
- C.70
- D.87
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Musimy znaleźć maksimum funkcji zysku Z(x) = 17/29 x(130-x)
Krok 1: Przekształcenie funkcji
Rozwija się wyrażenie: Z(x) = 17/29(130x - x²) = 17/29 · 130x - 17/29 x²
To jest funkcja kwadratowa postaci Z(x) = ax² + bx + c, gdzie: - a = -17/29 < 0 - b = 17 · 130/29
Krok 2: Znajdowanie maksimum
Ponieważ a < 0, parabola ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja ma maksimum w wierzchołku.
Dla funkcji kwadratowej maksimum/minimum występuje w punkcie: x_(wierzch) = -b/(2a)
Można jednak skorzystać z prostszej metody, zauważając strukturę wzoru: Z(x) = 17/29 x(130-x)
Krok 3: Metoda algebraiczna
Iloczyn x(130-x) osiąga maksimum, gdy oba czynniki są równe (dla dodatnich wartości), czyli gdy: x = 130 - x 2x = 130 x = 65
Alternatywnie - pochodna: Z(x) = 17/29(130x - x²) Z'(x) = 17/29(130 - 2x)
Przyrównuje się do zera: 130 - 2x = 0 2x = 130 x = 65
Sprawdzenie: Z''(x) = 17/29 · (-2) < 0, więc to jest maksimum.
Odpowiedź: B
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.