Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, oraz dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5, liczba a²+2b²+2 jest podzielna przez 7.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEZapiszmy warunki zadania w postaci algebraicznej.
Krok 1: Zapisanie warunków
Jeśli a przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, to: a = 7k + 2 dla pewnej liczby całkowitej k.
Jeśli b przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5, to: b = 7m + 5 dla pewnej liczby całkowitej m.
Krok 2: Obliczenie a²
a² = (7k + 2)² = 49k² + 28k + 4
Zauważmy, że: a² = 49k² + 28k + 4 = 7(7k² + 4k) + 4
Zatem a² ≡ 4 7
Krok 3: Obliczenie b²
b² = (7m + 5)² = 49m² + 70m + 25
b² = 49m² + 70m + 25 = 7(7m² + 10m) + 25
Podzielmy 25 przez 7: 25 = 7 · 3 + 4
Zatem b² ≡ 4 7
Krok 4: Obliczenie 2b²
2b² ≡ 2 · 4 ≡ 8 ≡ 1 7
(ponieważ 8 = 7 + 1)
Krok 5: Obliczenie a² + 2b² + 2
a² + 2b² + 2 ≡ 4 + 1 + 2 ≡ 7 ≡ 0 7
Wniosek:
Ponieważ a² + 2b² + 2 ≡ 0 7, liczba a² + 2b² + 2 jest podzielna przez 7 dla każdej liczby całkowitej a dającej resztę 2 oraz każdej liczby całkowitej b dającej resztę 5 przy dzieleniu przez 7.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.