Kalkulator wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna różnicy to odległość dwóch liczb na osi, więc warunek z modułem czyta się jak zdanie o odległości. Równanie daje dwa punkty oddalone od a o b, nierówność ze znakiem mniejszości przedział wokół a, a ze znakiem większości dwie półproste. Kalkulator niżej podaje zbiór rozwiązań i rysuje go na osi.
Wyrażenie z plusem w module znaczy a ujemne.
Może być zerem albo liczbą ujemną.
Warunek |x - 3| < 5 znaczy: odległość liczby x od liczby 3 na osi jest mniejsza niż 5.
Zbiór rozwiązań: (-2; 8)
Krańce biorą się z odejmowania i dodawania: 3 - 5 = -2 oraz 3 + 5 = 8.
Zbiór rozwiązań: (-2; 8)
- Zapis warunku|x - 3| < 5
- Nierówność podwójna-5 < x - 3 < 5
- Dodanie a stronami-2 < x < 8
- Zbiór rozwiązań(-2; 8)
Jak to policzyć
- Przeczytaj warunek jako odległośćZapis z modułem różnicy mówi o odległości liczby x od liczby a na osi liczbowej. Warunek z liczbą 5 po prawej stronie znaczy dokładnie tyle, że x leży o pięć jednostek od a, bliżej niż pięć albo dalej niż pięć. To zdanie po polsku jest szybszą drogą do odpowiedzi niż jakikolwiek wzór i działa nawet wtedy, gdy nie pamiętasz, w którą stronę otwiera się przedział.
- Sprawdź znak prawej stronyWartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc znak liczby po prawej stronie rozstrzyga wynik przed jakimkolwiek rachunkiem. Prawa strona ujemna daje zbiór pusty przy równaniu i przy nierówności ze znakiem mniejszości, a całą oś przy nierówności ze znakiem większości. Prawa strona równa zeru daje jeden punkt albo oś bez jednego punktu.
- Zdejmij moduł we właściwy sposóbRównanie rozbija się na dwa przypadki: wyrażenie pod modułem równe liczbie po prawej stronie albo równe liczbie do niej przeciwnej. Nierówność ze znakiem mniejszości zamienia się w jedną nierówność podwójną, a nierówność ze znakiem większości w alternatywę dwóch warunków. Pomylenie koniunkcji z alternatywą jest tu najczęstszym błędem.
- Zapisz zbiór rozwiązań i zaznacz go na osiOdpowiedzią jest zbiór, a nie pojedyncza liczba. Przedział domknięty zapisuje się nawiasami ostrymi, otwarty okrągłymi, a sumę dwóch półprostych łączy się znakiem sumy zbiorów. Rysunek na osi jest sprawdzeniem: kółko pełne oznacza koniec należący do zbioru, puste koniec, który do niego nie należy.
Przykład z matury
Moduł jako odległość, a nie jako zdejmowanie minusa
Szkolna definicja mówi, że wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, a liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna. Definicja jest poprawna, ale prowadzi do liczenia przypadków tam, gdzie wystarczy jedno spojrzenie na oś. Druga definicja, równoważna i o wiele wygodniejsza, brzmi tak: moduł różnicy dwóch liczb to odległość między nimi na osi liczbowej. Sam moduł liczby to jej odległość od zera.
Ta zamiana opłaca się natychmiast. Warunek mówiący, że odległość liczby x od trójki jest mniejsza niż pięć, opisuje wszystkie liczby leżące bliżej niż pięć jednostek od trójki, czyli odcinek od minus dwóch do ośmiu bez końców. Nie trzeba niczego rozbijać na przypadki ani pamiętać, kiedy nierówność zmienia zwrot. Trzeba wiedzieć jedno: gdzie na osi leży środek i jaki jest promień.
Nierówność ostra, nieostra i zapis przedziału
Znak nierówności decyduje wyłącznie o tym, czy końce należą do zbioru rozwiązań. Nierówność ostra daje przedział otwarty, czyli końce wykluczone i nawiasy okrągłe. Nierówność nieostra daje przedział domknięty, końce wliczone i nawiasy ostre. Na rysunku odpowiadają temu kółka puste i pełne, a w odpowiedzi pisemnej dwa różne znaki nawiasu, których egzaminator nie traktuje jako drobiazgu.
Nieskończoność zawsze stoi w nawiasie okrągłym, bo nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru. Suma dwóch półprostych jest normalną, pełnowartościową odpowiedzią i nie da się jej zapisać jednym przedziałem. Zapis próbujący ścisnąć ją w jeden nawias, na przykład od plus nieskończoności do minus nieskończoności, jest po prostu nieprawdziwy.
Wartość bezwzględna w zadaniu z parametrem
Arkusz rzadko pyta wprost o rozwiązanie nierówności z modułem. Znacznie częściej pyta, dla jakiej wartości parametru zbiór rozwiązań ma daną własność: jest pusty, ma dokładnie jedno rozwiązanie, jest przedziałem o zadanej długości. Wszystkie te pytania sprowadzają się do znaku i wartości prawej strony, bo długość przedziału wyznaczonego przez warunek z modułem jest równa jej podwojeniu.
Stąd bierze się znaczenie trzech przypadków, które kalkulator liczy osobno. Prawa strona ujemna to zbiór pusty przy równaniu i przy nierówności ze znakiem mniejszości. Prawa strona równa zeru daje dokładnie jedno rozwiązanie przy równaniu i przy nierówności nieostrej. Więcej takich zadań rozpisanych krok po kroku znajdziesz we wpisie o wartości bezwzględnej na maturze.
Nierówność ze znakiem większości nigdy nie daje jednego przedziału. Zbiorem rozwiązań są dwie półproste połączone znakiem sumy, a zapisanie ich jako jednego przedziału jest błędem merytorycznym, nie zapisu.
Pułapki maturalne
Koniunkcja zamiast alternatywy przy znaku większości
Nierówność mówiąca, że moduł jest mniejszy od liczby dodatniej, daje jedną nierówność podwójną i jeden przedział. Nierówność mówiąca, że moduł jest większy, daje dwa warunki połączone słowem lub, czyli dwie rozłączne półproste. Zapisanie ich jako nierówności podwójnej daje zbiór pusty, bo żadna liczba nie jest jednocześnie mniejsza od lewego krańca i większa od prawego.
Prawa strona ujemna traktowana jak zwykły przypadek
Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc warunek mówiący, że jest ona równa liczbie ujemnej albo od niej mniejsza, nie ma rozwiązań w ogóle. Podstawienie takiej liczby do wzoru na krańce przedziału daje parę liczb w odwrotnej kolejności i przedział, którego nie ma. Sprawdzenie znaku prawej strony zajmuje sekundę i ratuje całe zadanie.
Zgubiony znak przy przesunięciu wewnątrz modułu
Wyrażenie z plusem w środku modułu opisuje odległość od liczby ujemnej, a nie od dodatniej. Moduł sumy x oraz dwóch to odległość liczby x od minus dwóch, bo dodawanie dwójki to odejmowanie liczby do niej przeciwnej. Odczytanie tego środka ze złym znakiem przesuwa cały zbiór rozwiązań o podwojoną wartość i nie zostawia żadnego śladu w dalszym rachunku.
Najczęściej zadawane pytania
Przeczytaj ją jako warunek o odległości. Znak mniejszości daje przedział wokół środka, a znak większości dwie półproste. Dla warunku mówiącego, że odległość liczby x od trójki jest mniejsza niż pięć, rozwiązaniem jest przedział otwarty od minus dwóch do ośmiu.
To odległość tej liczby od zera na osi liczbowej, więc wynik nigdy nie jest ujemny. Moduł liczby dodatniej to ta sama liczba, moduł liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna, a moduł zera to zero.
Wtedy, gdy po prawej stronie stoi liczba ujemna, bo moduł nigdy nie jest ujemny. Gdy po prawej stronie stoi zero, rozwiązanie jest dokładnie jedno, a gdy liczba dodatnia, rozwiązania są dwa i leżą symetrycznie względem środka.
Nawiasami ostrymi, czyli kanciastymi, i to jest zapis używany w arkuszach CKE. Przedział otwarty idzie w nawiasach okrągłych. Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły, bo nieskończoność nie jest liczbą i nie należy do zbioru.
Tak, moduł liczby rzeczywistej oraz proste równania i nierówności z wartością bezwzględną są w wymaganiach na poziomie podstawowym. Interpretacja odległościowa nie jest formalnie wymagana, ale to ona najszybciej prowadzi do poprawnej odpowiedzi.