Wzory matematyczne na maturę

Tabela trygonometryczna podaje wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla podstawowych kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni. Te wartości musisz znać na pamięć do zadań z trygonometrii i planimetrii na maturze. Poniżej interaktywna tabela z wartościami dokładnymi i przybliżonymi.

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić wartość funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta do kąta ostrego od 0 do 90 stopni. Zasada jest prosta: sprawdzasz, w której ćwiartce leży kąt, ustalasz znak funkcji i ewentualnie zamieniasz sinus na cosinus, gdy odejmujesz lub dodajesz 90 stopni.

Pole rombu najłatwiej policzyć z przekątnych: jest równe połowie iloczynu długości obu przekątnych. Jeśli przekątne mają długości d1 i d2, to pole wynosi P = (d1 razy d2) podzielone przez 2. Romb można też liczyć z boku i wysokości albo z kąta między bokami.

Pole trójkąta równobocznego o boku a jest równe a do kwadratu razy pierwiastek z 3, podzielone przez 4. Wysokość takiego trójkąta to a razy pierwiastek z 3, podzielone przez 2. Oba wzory wynikają z twierdzenia Pitagorasa i są bardzo częste na maturze.

Pole trapezu jest równe sumie obu podstaw podzielonej przez 2 i pomnożonej przez wysokość. Jeśli podstawy mają długości a i b, a wysokość to h, to pole wynosi P = ((a + b) / 2) razy h. Wzór działa dla każdego trapezu.

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę: P = a razy h. Można je też policzyć z dwóch boków i kąta między nimi: P = a razy b razy sinus kąta. Wzór z podstawy i wysokości jest najprostszy.

Pole koła jest równe liczbie pi pomnożonej przez kwadrat promienia: P = pi razy r do kwadratu. Obwód okręgu o tym samym promieniu wynosi L = 2 razy pi razy r. Promień to odległość od środka do brzegu koła.

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko podnieść do kwadratu lub sześcianu sumę i różnicę oraz rozłożyć wyrażenia na czynniki. Najważniejsze to kwadrat sumy (a plus b) do kwadratu, kwadrat różnicy i różnica kwadratów. Na maturze nie ma ich w karcie wzorów, więc trzeba znać je na pamięć.

Delta, czyli wyróżnik równania kwadratowego, to b do kwadratu minus 4ac. Gdy delta jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki, gdy równa zero, jeden pierwiastek podwójny, a gdy ujemna, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Delta jest punktem wyjścia do wzorów na pierwiastki.

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy r. N-ty wyraz liczymy ze wzoru a_n = a1 plus (n minus 1) razy r. Suma n początkowych wyrazów to średnia pierwszego i n-tego wyrazu pomnożona przez n.

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q. N-ty wyraz to a_n = a1 razy q do potęgi (n minus 1). Iloraz wyznaczamy, dzieląc dowolny wyraz przez poprzedni.

Procent składany oznacza, że odsetki dopisuje się do kapitału, a w kolejnym okresie naliczane są od powiększonej kwoty. Kapitał po n okresach to K = K0 razy (1 plus p przez 100) do potęgi n, gdzie K0 to kwota początkowa, a p to oprocentowanie okresu.

Średnia ważona uwzględnia, że niektóre wartości liczą się bardziej niż inne. Mnożysz każdą wartość przez jej wagę, sumujesz iloczyny i dzielisz przez sumę wag. Gdy wszystkie wagi są równe, średnia ważona staje się zwykłą średnią arytmetyczną.