Wzory redukcyjne: tabela i zasady

Aktualizacja: czerwiec 2026

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić wartość funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta do kąta ostrego od 0 do 90 stopni. Zasada jest prosta: sprawdzasz, w której ćwiartce leży kąt, ustalasz znak funkcji i ewentualnie zamieniasz sinus na cosinus, gdy odejmujesz lub dodajesz 90 stopni.
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α,cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

Zasada znaku w ćwiartkach



Znak wartości funkcji zależy od ćwiartki, w której leży kąt. Pomocna jest reguła "w pierwszej wszystkie dodatnie", a dalej dodatnie pozostają kolejno: sinus, tangens i cotangens, cosinus.

Ćwiartkasincostg
I (0-90)+++
II (90-180)+--
III (180-270)--+
IV (270-360)-+-

Najważniejsze wzory



•sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha

•cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

•sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha

•cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha

•sin⁡(360∘−α)=−sin⁡α\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin\alpha


Przykład



Obliczmy cos⁡150∘\cos 150^\circ. Kąt leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, więc cos⁡150∘=cos⁡(180∘−30∘)=−cos⁡30∘=−32\cos 150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Najczęściej zadawane pytania

Po co stosuje się wzory redukcyjne?

Wzory redukcyjne pozwalają policzyć wartość funkcji trygonometrycznej dla kąta większego niż 90 stopni, sprowadzając go do kąta ostrego, którego wartość znasz z tabeli trygonometrycznej.

Jak zapamiętać znaki w ćwiartkach?

Pomocna jest zasada, że w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej dodatni jest tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

Czy wzory redukcyjne są w karcie wzorów?

Karta wzorów CKE zawiera podstawowe tożsamości, ale pełnej tabeli wzorów redukcyjnych w niej nie ma. Warto opanować zasadę ćwiartek, by wyprowadzić je samodzielnie.

Zobacz też