📐 Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ i $\beta$, w którym $\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$....

Dana jest liczba $a=\sin 72^\circ$. Zapisz liczbę $1+\operatorname{tg}^2 72^\circ$ w zależności od $a$.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty oraz $\sin (\sphericalangle ABC)=\frac{1}{3}$....

Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym oraz $\cos \alpha =\frac{2}{3}$. Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb:...

W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa $6$. Cosinus kąta $\alpha$ między tworzącą a pł...

Dla pewnego kąta ostrego $\alpha$ funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości \($\sin$ $\alpha$ =a-$\frac{1}{4}$...

W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy $\frac{3}{2}$. Oblicz sinus kąta między tworząc...

Wykaż, że jeżeli $\alpha$ i $\beta$ są kątami ostrymi takimi, że $\sin \alpha =\frac{\sqrt{35}}{6}$ oraz...

Kąty $\alpha$ i $\beta$ są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i $\cos \alpha =\frac{2}{5}$. Oblicz...

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\cos \alpha -5\sin \alpha }$, jeśli wiadomo, że...

Dany jest kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ oraz 9$0^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$. Oceń...

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości: $|AB| = 4$, $|BC| = 5$, $|AC| = 6$. Oblicz sinus najmniejszego kąta w...

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości $2$ i $4$, jeden z kątów ostrych ma miarę \($\alpha$...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Oblicz $3+2\operatorname{tg}^2\alpha$ .

Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym i $\operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{2}$. Jaki warunek spełnia kąt $\alpha$?

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{1}{4}$ . Wówczas

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości $6$ i $10$ oraz tangens jego kąta ostrego jest równy $3$. Oblicz pole...

Uzasadnij, że jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym, to $\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^4\alpha$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =1$. Wówczas

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$ . Oblicz wartość wyrażenia...

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie \($\sin^{2}$ $\alpha$ +$\sin^{2}$ $\alpha$ $\cdot$ \cos^{2}$\alpha$ + \cos^{4}\alpha\...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{1}{3}$. Wartość wyrażenia...

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości $1$ oraz $\sqrt{3}$. Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}$. Oblicz wartość wyr...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}$. Wówczas $\sin \alpha$ jest równy

Liczba $1-\operatorname{tg} 40^\circ$ jest

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}$. Oblicz wartość wyrażenia...

Kąt $\alpha \in (0^\circ , 180^\circ )$ oraz wiadomo, że $\sin \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{3}{8}$. Wartość wyra...

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30^\circ$, $45^\circ$ oraz $105^\circ$. Długości boków trójkąta, leżąc...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie...

Podstawy trapezu prostokątnego $A B C D$ mają długości: $|A B|=8$ oraz $|C D|=5$. Wysokość $A D$ tego trapezu ma...

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ oraz $\beta$ (zobacz rysunek). Sinus kąta $\alpha$ jest ró...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{3}{4}$. Wartość wyrażenia $2-\cos ^2\alpha$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}$. Oblicz $\cos \alpha$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos \alpha =\frac{5}{13}$. Wtedy

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2$. Oblicz wartość w...

Wartość wyrażenia $\frac{\sin^2 38^\circ +\cos^2 38^\circ -1}{\sin^2 52^\circ +\cos^2 52^\circ +1}$ jest równa

W trójkącie prostokątnym $ABC$ odcinek $AB$ jest przeciwprostokątną i $|AB|=13$ oraz $|BC|=12$ . Wówczas...

Liczba $\operatorname{tg} 30^\circ -\sin 30^\circ$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Wartość wyrażenia $\cos^2\alpha -2$ jest równa

Jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym oraz $\operatorname{tg}{\alpha }=\frac{2}{5}$, to wartość wyrażenia...

Jeżeli $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ oraz $\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha$, to

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}$. Wtedy

Jeżeli $m=\sin 50^\circ$, to

Promień $AS$ podstawy walca jest równy wysokości $OS$ tego walca. Sinus kąta $OAS$ (zobacz rysunek) jest równy

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{4}{5}$. Wtedy

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ i $\beta$ (zobacz rysunek). Wyrażenie...

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{\cos \alpha }=4$. Oblicz tangens kąta...

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ iloczyn...

Przyprostokątna $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ ma długość $8$ oraz $\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{5}$ (z...

Liczba $\cos 12^\circ \cdot \sin 78^\circ +\sin 12^\circ \cdot \cos 78^\circ$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =2$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin^{2} \alpha$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $O = (0, 0)$. Jedn...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba...

W kartezjańskim układzie wspórzędnych $(x, y)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że...

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120^{\circ}$. Dokończ zdani...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek...

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=11,|BC|=12$ oraz $|\sphericalangle ABC|=60^{\circ}$ (zobacz rysunek). Oceń...

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość...

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC|=2$ i $|AC|=2\sqrt{10}$...

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\dfrac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6$. Dokończ zdanie. Wybierz...

Dane są dwa kąty o miarach $\alpha$ oraz $\beta$, spełniające warunki: $\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)$ i...

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród...

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowied...

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|AC|=\sqrt{15}$ i $|BC|=8$. Na przyprostokątnej $AB$ leży taki pu...

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Oblicz wartość wyrażenia...

Zadanie 18. (0–1) Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną oraz $|AC|=6$. Ta...

Liczba $\sin 150^\circ$ jest równa liczbie

W układzie współrzędnych zaznaczono kąt $\alpha$. Jedno z ramion kąta $\alpha$ przechodzi przez punkt $P=(-4,3)$...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos \alpha =\sqrt{2}-1$. Wtedy wyrażenie $\frac{1}{|\sin^2 \alpha- 2\cos \alpha-1|}$...

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{\sqrt{3}}$. Udowodnij, że istniej...

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $3$ i $9$. Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:

Wartość wyrażenia $\sin^{2} 23^\circ +\sin^{2} 67^\circ$ jest równa:

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość $25$, a najkrótszy $7$. Tangens najmniejszego kąta tego trójkąta...

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o kątach ostrych $\alpha$ i $\beta$ oraz przyprostokątnej $BC$ długości...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek...

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości $6$ i $10$ oraz tangens kąta ostrego jest równy $3$. Oblicz pole tego...

W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: $\alpha =27^\circ$ i $\beta =63^\circ$. Wtedy...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =0{,}6$. Wówczas

Kąty ostre $\alpha$ i $\beta$ trójkąta prostokątnego spełniają warunek...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}$. Oblicz wartość wyrażenia...

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha =\frac{4}{5}$. Wtedy

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość $a$. Kąt ostry przy tym boku ma miarę $\alpha$. Wykaż...

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha =\frac{2}{5}$. Wówczas

W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}$. Wówczas $\cos \alpha$ jest równy:

W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa $7$, zaś długość przeciwprostokątnej jest równa...

Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest $2$ razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim pa...

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $4$ i $6$ . Pole tego trójkąta jest równe $3\sqrt{15}$. Oznacza to, że...

Dla pewnego kąta wypukłego $\alpha$ mamy $\operatorname{tg} \frac{\alpha }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Kąt $\alpha$ m...

Wysokość rombu jest równa $12$, a jego pole jest równe $180$. Sinus kąta ostrego rombu wynosi:

Wiedząc, że kąt $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin^{2} \alpha =\frac{9}{25}$, oblicz $\operatorname{tg} \alpha$.

W trójkącie przedstawionym na rysunku sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy:

Wyrażenie $\frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }}$, gdzie $\alpha$ jest kątem ostrym, mo...

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $8$ i $6$. Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta jest r...

Oblicz wartość wyrażenia $\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha$, jeżeli $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ i...

W trójkącie prostokątnym o bokach $6, 8, 10$, tangens najmniejszego kąta jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha =\cos 47^\circ$. Wtedy miara kąta $\alpha$ jest równa.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Oblicz $3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha$.

W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{7}{13}$. Wtedy $\operatorname{tg} \alpha$ jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Wtedy wartość wyrażenia $2cos^2\alpha -1$ jest równ...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =2$ . Oblicz...

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $3\operatorname{tg}\alpha =2$. Wtedy wartość wyrażenia...

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25$. Oblicz wartość wyraże...

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} $\alpha$ +\frac{1}{\operatorname{tg} $\alpha$ }=$\frac{7}{2}$...

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{3}{4}$. Wówczas

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych $2$ i $5$ cosinus większego z kątów ostrych jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{4}{5}$. Wtedy wartość wyrażenia $\sin \alpha -\cos \alpha$ jest ró...

Wartość wyrażenia $(\operatorname{tg} 60^\circ +\operatorname{tg} 45^\circ )^2-\sin 60^\circ$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{7}$. Stąd wynika, że

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos \alpha = \frac{3}{5}$. Wtedy

Cosinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{12}{13}$. Wtedy

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Wtedy

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha=\frac{7}{25}$. Wynika stąd, że

Przyprostokątna $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ ma długość $6$, a przeciwprostokątna $AB$ ma długość...

Nie istnieje kąt ostry $\alpha$ taki, że

Pole prostokąta jest równe $16$, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym $\alpha$, takim, że...

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{7}$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród p...

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha=\frac{24}{25}$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanyc...

W trójkącie prostokątnym $A B C$ sinus kąta $C A B$ jest równy $\frac{3}{5}$, a przeciwprostokątna $A B$ jest o...

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=5,|AC|=2$ oraz $\cos |\sphericalangle BAC|=\frac{3}{5}$. Dokończ zdanie. W...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba...

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos\alpha=\frac{5}{13}$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych....