Dana jest liczba a=sin 72° . Zapisz liczbę 1+tg² 72° w zależności od a.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 1/(1-a²)
Musimy wyrazić 1 + tg² 72° przez a = sin 72°.
Krok 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej
Przypominam podstawową tożsamość trygonometryczną: 1 + tg² α= 1/(cos² α)
Dowód tej tożsamości: dzielimy obie strony sin² α+ cos² α= 1 przez cos² α: sin² α/(cos² α) + cos² α/(cos² α) = 1/(cos² α) tg² α+ 1 = 1/(cos² α)
Krok 2: Zastosowanie tożsamości dla kąta 72°
Dla α= 72°: 1 + tg² 72° = 1/(cos² 72°)
Krok 3: Wyrażenie cos² 72° przez sin 72°
Z podstawowej tożsamości pitagorejskiej: sin² 72° + cos² 72° = 1
Stąd: cos² 72° = 1 - sin² 72°
Krok 4: Podstawienie a = sin 72°
Mamy a = sin 72°, więc: cos² 72° = 1 - a²
Krok 5: Podstawienie do wzoru
1 + tg² 72° = 1/(cos² 72°) = 1/(1 - a²)
Odpowiedź: 1/(1-a²)
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.