Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami

Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów to dwa narzędzia, które znajdziesz na karcie wzorów CKE. Wzory są podane, więc nie musisz ich pamiętać na pamięć. Problem polega na czymś innym - musisz wiedzieć, kiedy sięgnąć po które twierdzenie. Właśnie na tym etapie większość maturzystów się gubi: widzą trójkąt, widzą dane i nie wiedzą, od czego zacząć.

W tym przewodniku rozbijam oba twierdzenia na czynniki pierwsze. Pokażę Ci dokładnie, w jakich sytuacjach stosować sinusy, a w jakich cosinusy, dam Ci prosty algorytm decyzyjny i przeprowadzę Cię przez kilka zadań krok po kroku. Jeśli szukasz szerszego przeglądu trygonometrii na maturze, zajrzyj do osobnego artykułu - tutaj skupiamy się wyłącznie na tych dwóch twierdzeniach.

Twierdzenie sinusów - wzór i interpretacja

Wzór

Dla dowolnego trójkąta o bokach $a, b, c$ i kątach $\alpha, \beta, \gamma$ leżących naprzeciwko tych boków zachodzi:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Co to znaczy w praktyce?

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek każdego boku do sinusa kąta naprzeciwko jest taki sam - i równa się średnicy okręgu opisanego. To daje nam dwie rzeczy:

1. Proporcje - jeśli znamy jeden bok i kąt naprzeciwko, a potem znamy jeszcze jeden kąt, możemy wyliczyć drugi bok.
2. Promień okręgu opisanego - jeśli znamy dowolny bok i kąt naprzeciwko, od razu mamy $R$.

Kiedy stosować twierdzenie sinusów?

Twierdzenie sinusów jest najlepszym wyborem w trzech sytuacjach:

1. Dane: bok + kąt naprzeciwko + jeszcze jeden kąt (BKK)

Masz np. $a = 6$, $\alpha = 30°$, $\beta = 45°$. Szukasz boku $b$.

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \frac{6}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$$

2. Dane: dwa boki + kąt naprzeciwko jednego z nich (BBK, ale kąt naprzeciwko)

Masz np. $a = 8$, $b = 6$, $\alpha = 60°$. Szukasz kąta $\beta$.

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a}$$

Uwaga: ta sytuacja może dać dwa rozwiązania (przypadek niejednoznaczny), bo $\sin\beta = \sin(180° - \beta)$.

3. Szukasz promienia okręgu opisanego

Zawsze gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany na trójkącie, myśl: twierdzenie sinusów.

$$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$$

To pojawia się regularnie w zadaniach z planimetrii, szczególnie w połączeniu z okręgami opisanymi i wpisanymi.

Twierdzenie cosinusów - wzór i interpretacja

Wzór

Dla dowolnego trójkąta:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$$

Analogicznie dla pozostałych boków:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$$

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa

Jeśli $\alpha = 90°$, to $\cos 90° = 0$ i wzór upraszcza się do:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

Właśnie dlatego twierdzenie cosinusów nazywa się uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Pitagoras działa tylko w trójkącie prostokątnym - cosinusy działają w każdym trójkącie.

Człon $-2bc \cdot \cos\alpha$ to "korekta", która uwzględnia fakt, że kąt nie musi być prosty:

Warto mieć na uwadze te zależności - więcej o wartościach funkcji trygonometrycznych znajdziesz w artykule o sinusie, cosinusie i tangensie.

Kiedy stosować twierdzenie cosinusów?

1. Dane: dwa boki i kąt między nimi (BKB) - szukasz trzeciego boku

Masz np. $b = 5$, $c = 7$, $\alpha = 60°$. Szukasz $a$.

$$a^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$ $$a = \sqrt{39}$$

2. Dane: trzy boki (BBB) - szukasz kąta

Masz np. $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Szukasz kąta $\alpha$.

$$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$$ $$\alpha = 60°$$

Algorytm decyzyjny - które twierdzenie wybrać?

To jest najważniejsza część artykułu. Zanim zaczniesz liczyć, zadaj sobie te pytania w tej kolejności:

Złota zasada: jeśli masz kąt między dwoma znanymi bokami - cosinusy. Jeśli masz kąt naprzeciwko znanego boku - sinusy.

Pole trójkąta przez sinus kąta

Oprócz dwóch głównych twierdzeń, na karcie wzorów CKE znajdziesz jeszcze jeden wzór ściśle z nimi związany:

$$P = \frac{1}{2}ab \cdot \sin\gamma$$

gdzie $a$ i $b$ to dwa boki trójkąta, a $\gamma$ to kąt między nimi.

Ten wzór jest niezwykle przydatny, bo oblicza pole trójkąta bez konieczności wyznaczania wysokości. Wystarczą dwa boki i kąt między nimi - dane, które często masz od razu lub możesz łatwo wyliczyć z twierdzenia cosinusów.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1: Dwa boki i kąt między nimi - wyznacz trzeci bok

Treść: W trójkącie $ABC$ dane są $b = 4$, $c = 6$ i $\alpha = 120°$. Oblicz długość boku $a$.

Analiza danych: Mam dwa boki i kąt między nimi (BKB) - twierdzenie cosinusów.

Rozwiązanie:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$$ $$a^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 120°$$ $$a^2 = 52 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76$$ $$a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$$

Komentarz: Cosinus 120° jest ujemny, więc zamiast odejmować, dodajemy. To logiczne - kąt rozwarty "rozciąga" bok naprzeciwko.

Przykład 2: Trzy boki - wyznacz największy kąt

Treść: Boki trójkąta mają długości 5, 7 i 10. Oblicz miarę największego kąta.

Analiza danych: Mam trzy boki (BBB), szukam kąta - twierdzenie cosinusów. Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku (10).

Rozwiązanie:

Oznaczmy $a = 10$, $b = 5$, $c = 7$.

$$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 49 - 100}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-26}{70} = -\frac{13}{35}$$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty (większy niż 90°): $\alpha = \arccos\!\left(-\frac{13}{35}\right) \approx 111{,}8°$.

Przykład 3: Promień okręgu opisanego

Treść: W trójkącie $ABC$ bok $a = 8$ i kąt $\alpha = 30°$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Analiza danych: Szukam $R$, mam bok i kąt naprzeciwko - twierdzenie sinusów.

Rozwiązanie:

$$2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{8}{\sin 30°} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$$ $$R = 8$$

Komentarz: To zadanie zamknięte na maturze rozwiązujesz w 30 sekund. Taki typ pojawia się w pewniakach maturalnych.

Przykład 4: Pole trójkąta ogólnego

Treść: Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10, a kąt między nimi ma miarę 150°. Oblicz pole tego trójkąta.

Analiza danych: Mam dwa boki i kąt między nimi - pole ze wzoru z sinusem.

Rozwiązanie:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 150° = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{1}{2} = 15$$

Komentarz: $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$. Warto pamiętać, że sinus kąta rozwartego to sinus jego dopełnienia do 180° - więcej o tym w artykule o wartościach sinusa, cosinusa i tangensa.

Przykład 5: Zadanie łączone - cosinusy, a potem pole

Treść: W trójkącie $ABC$ dane są $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Oblicz pole tego trójkąta.

Analiza danych: Mam trzy boki, szukam pola. Najpierw muszę wyznaczyć kąt (cosinusy), potem policzę pole ze wzoru z sinusem.

Rozwiązanie:

Krok 1 - wyznaczam kąt $\gamma$ (między bokami $a$ i $b$):

$$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

Krok 2 - obliczam $\sin\gamma$:

$$\sin^2\gamma = 1 - \cos^2\gamma = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$$ $$\sin\gamma = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

Krok 3 - pole trójkąta:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$$

Komentarz: Zwróć uwagę, jak przechodzę od cosinusa do sinusa przez jedynkę trygonometryczną $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$. Tego nie ominiesz na maturze.

Przykład 6: Zadanie z CKE - trójkąt w okręgu

Treść: W okrąg o promieniu $R = 5$ wpisano trójkąt, w którym jeden z boków ma długość 6, a kąt naprzeciwko tego boku ma miarę $\alpha$. Oblicz $\sin\alpha$.

Rozwiązanie:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$$ $$\frac{6}{\sin\alpha} = 10$$ $$\sin\alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Kiedy NIE używać tych twierdzeń?

Twierdzenie sinusów i cosinusów to narzędzia do trójkątów ogólnych. Jeśli wiesz, że trójkąt jest prostokątny, masz prostsze metody:

Tabela porównawcza: twierdzenie sinusów vs cosinusów

Strategia na maturze - podsumowanie

Kiedy na arkuszu zobaczysz trójkąt ogólny (nie prostokątny), wykonaj te kroki:

1. Oznacz dane - wpisz znane boki i kąty na rysunek.
2. Sprawdź, czy jest kąt prosty - jeśli tak, użyj Pitagorasa.
3. Policz dane - ile znasz boków? Ile kątów?
4. Zastosuj algorytm decyzyjny z tabeli wyżej.
5. Jeśli szukasz pola - pomyśl o wzorze $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.
6. Jeśli szukasz $R$ - myśl: sinusy.

Oba twierdzenia są na karcie wzorów, więc nie stresujesz się zapamiętywaniem. Twoim zadaniem jest rozpoznać sytuację i wybrać odpowiednie narzędzie. Przećwicz to na zadaniach z trygonometrii i planimetrii - im więcej trójkątów rozwiążesz, tym szybciej będziesz podejmować decyzje na egzaminie.

Jeśli chcesz ogarnąć trygonometrię szerzej - definicje, wykresy, równania - zajrzyj do kompletnego przewodnika po trygonometrii maturalnej. A jeśli potrzebujesz powtórki z planimetrii, tam też znajdziesz twierdzenia sinusów i cosinusów w kontekście konkretnych figur.