Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami

Kompletny przewodnik po twierdzeniu sinusów i cosinusów na maturze. Algorytm decyzyjny, kiedy które twierdzenie stosować, pole trójkąta przez sinus, tabela porównawcza i 6 rozwiązanych zadań.

Marcel Bogdan6 min czytania

31 marca 20269 września 2026

Spis treści

Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów to dwa narzędzia, które znajdziesz na karcie wzorów CKE. Wzory są podane, więc nie musisz ich pamiętać na pamięć. Problem polega na czymś innym - musisz wiedzieć, kiedy sięgnąć po które twierdzenie. Właśnie na tym etapie większość maturzystów się gubi: widzą trójkąt, widzą dane i nie wiedzą, od czego zacząć.

W tym przewodniku rozbijam oba twierdzenia na czynniki pierwsze. Pokażę Ci dokładnie, w jakich sytuacjach stosować sinusy, a w jakich cosinusy, dam Ci prosty algorytm decyzyjny i przeprowadzę Cię przez kilka zadań krok po kroku. Jeśli szukasz szerszego przeglądu trygonometrii na maturze, zajrzyj do osobnego artykułu - tutaj skupiamy się wyłącznie na tych dwóch twierdzeniach.

Twierdzenie sinusów - wzór i interpretacja

Wzór

Dla dowolnego trójkąta o bokach $a, b, c$ i kątach $\alpha, \beta, \gamma$ leżących naprzeciwko tych boków zachodzi:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Co to znaczy w praktyce?

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek każdego boku do sinusa kąta naprzeciwko jest taki sam - i równa się średnicy okręgu opisanego. To daje nam dwie rzeczy:

1.Proporcje - jeśli znamy jeden bok i kąt naprzeciwko, a potem znamy jeszcze jeden kąt, możemy wyliczyć drugi bok.
2.Promień okręgu opisanego - jeśli znamy dowolny bok i kąt naprzeciwko, od razu mamy $R$ .

Kiedy stosować twierdzenie sinusów?

Twierdzenie sinusów jest najlepszym wyborem w trzech sytuacjach:

1. Dane: bok + kąt naprzeciwko + jeszcze jeden kąt (BKK)

Masz np. $a = 6$ , $\alpha = 30°$ , $\beta = 45°$ . Szukasz boku $b$ .

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \frac{6}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}

2. Dane: dwa boki + kąt naprzeciwko jednego z nich (BBK, ale kąt naprzeciwko)

Masz np. $a = 8$ , $b = 6$ , $\alpha = 60°$ . Szukasz kąta $\beta$ .

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a}

3. Szukasz promienia okręgu opisanego

Zawsze gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany na trójkącie, myśl: twierdzenie sinusów.

R = \frac{a}{2\sin\alpha}

To pojawia się regularnie w zadaniach z planimetrii, szczególnie w połączeniu z okręgami opisanymi i wpisanymi.

Twierdzenie cosinusów - wzór i interpretacja

Wzór

Dla dowolnego trójkąta:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha

Analogicznie dla pozostałych boków:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa

Jeśli $\alpha = 90°$ , to $\cos 90° = 0$ i wzór upraszcza się do:

a^2 = b^2 + c^2

Właśnie dlatego twierdzenie cosinusów nazywa się uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Pitagoras działa tylko w trójkącie prostokątnym - cosinusy działają w każdym trójkącie.

Człon $-2bc \cdot \cos\alpha$ to "korekta", która uwzględnia fakt, że kąt nie musi być prosty:

•Gdy $\alpha < 90°$ , cosinus jest dodatni, więc odejmujemy - bok $a$ jest krótszy niż w Pitagorasie.
•Gdy $\alpha > 90°$ , cosinus jest ujemny, więc faktycznie dodajemy - bok $a$ jest dłuższy.

Warto mieć na uwadze te zależności - więcej o wartościach funkcji trygonometrycznych znajdziesz w artykule o sinusie, cosinusie i tangensie.

Kiedy stosować twierdzenie cosinusów?

1. Dane: dwa boki i kąt między nimi (BKB) - szukasz trzeciego boku

Masz np. $b = 5$ , $c = 7$ , $\alpha = 60°$ . Szukasz $a$ .

a^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39

a = \sqrt{39}

2. Dane: trzy boki (BBB) - szukasz kąta

Masz np. $a = 7$ , $b = 5$ , $c = 8$ . Szukasz kąta $\alpha$ .

\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}

\alpha = 60°

Algorytm decyzyjny - które twierdzenie wybrać?

To jest najważniejsza część artykułu. Zanim zaczniesz liczyć, zadaj sobie te pytania w tej kolejności:

Krok	Pytanie	Odpowiedź	Działanie
1	Czy trójkąt jest prostokątny?	Tak	Użyj Pitagorasa i trygonometrii kąta ostrego
2	Czy mam trzy boki (BBB)?	Tak	Cosinusy - wylicz dowolny kąt
3	Czy mam dwa boki i kąt między nimi (BKB)?	Tak	Cosinusy - wylicz trzeci bok
4	Czy mam bok i kąt naprzeciwko?	Tak	Sinusy - ustaw proporcję
5	Czy szukam promienia okręgu opisanego?	Tak	Sinusy - $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$
6	Czy mam dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich?	Tak	Sinusy - ale uważaj na przypadek niejednoznaczny

Złota zasada: jeśli masz kąt między dwoma znanymi bokami - cosinusy. Jeśli masz kąt naprzeciwko znanego boku - sinusy.

Pole trójkąta przez sinus kąta

Oprócz dwóch głównych twierdzeń, na karcie wzorów CKE znajdziesz jeszcze jeden wzór ściśle z nimi związany:

P = \frac{1}{2}ab \cdot \sin\gamma

gdzie $a$ i $b$ to dwa boki trójkąta, a $\gamma$ to kąt między nimi.

Ten wzór jest niezwykle przydatny, bo oblicza pole trójkąta bez konieczności wyznaczania wysokości. Wystarczą dwa boki i kąt między nimi - dane, które często masz od razu lub możesz łatwo wyliczyć z twierdzenia cosinusów.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1: Dwa boki i kąt między nimi - wyznacz trzeci bok

0/6

Trygonometria

Treść: W trójkącie $ABC$ dane są $b = 4$ , $c = 6$ i $\alpha = 120°$ . Oblicz długość boku $a$ .

Analiza danych: Mam dwa boki i kąt między nimi (BKB) - twierdzenie cosinusów.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha

a^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 120°

a^2 = 52 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76

a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}

Komentarz: Cosinus 120° jest ujemny, więc zamiast odejmować, dodajemy. To logiczne - kąt rozwarty "rozciąga" bok naprzeciwko.

Przykład 2: Trzy boki - wyznacz największy kąt

0/6

Trygonometria

Treść: Boki trójkąta mają długości 5, 7 i 10. Oblicz miarę największego kąta.

Analiza danych: Mam trzy boki (BBB), szukam kąta - twierdzenie cosinusów. Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku (10).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Oznaczmy $a = 10$ , $b = 5$ , $c = 7$ .

\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 49 - 100}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-26}{70} = -\frac{13}{35}

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty (większy niż 90°): $\alpha = \arccos\!\left(-\frac{13}{35}\right) \approx 111{,}8°$ .

Przykład 3: Promień okręgu opisanego

0/6

Trygonometria

Treść: W trójkącie $ABC$ bok $a = 8$ i kąt $\alpha = 30°$ . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Analiza danych: Szukam $R$ , mam bok i kąt naprzeciwko - twierdzenie sinusów.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{8}{\sin 30°} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16

R = 8

Komentarz: To zadanie zamknięte na maturze rozwiązujesz w 30 sekund. Taki typ pojawia się w pewniakach maturalnych.

Przykład 4: Pole trójkąta ogólnego

0/6

Trygonometria

Treść: Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10, a kąt między nimi ma miarę 150°. Oblicz pole tego trójkąta.

Analiza danych: Mam dwa boki i kąt między nimi - pole ze wzoru z sinusem.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 150° = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{1}{2} = 15

Komentarz: $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ . Warto pamiętać, że sinus kąta rozwartego to sinus jego dopełnienia do 180° - więcej o tym w artykule o wartościach sinusa, cosinusa i tangensa.

Przykład 5: Zadanie łączone - cosinusy, a potem pole

0/6

Trygonometria

Treść: W trójkącie $ABC$ dane są $a = 7$ , $b = 5$ , $c = 8$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Analiza danych: Mam trzy boki, szukam pola. Najpierw muszę wyznaczyć kąt (cosinusy), potem policzę pole ze wzoru z sinusem.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Krok 1 - wyznaczam kąt $\gamma$ (między bokami $a$ i $b$ ):

\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}

Krok 2 - obliczam $\sin\gamma$ :

\sin^2\gamma = 1 - \cos^2\gamma = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}

\sin\gamma = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}

Krok 3 - pole trójkąta:

P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}

Komentarz: Zwróć uwagę, jak przechodzę od cosinusa do sinusa przez jedynkę trygonometryczną $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$ . Tego nie ominiesz na maturze.

Przykład 6: Zadanie z CKE - trójkąt w okręgu

0/6

Trygonometria

Treść: W okrąg o promieniu $R = 5$ wpisano trójkąt, w którym jeden z boków ma długość 6, a kąt naprzeciwko tego boku ma miarę $\alpha$ . Oblicz $\sin\alpha$ .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

\frac{6}{\sin\alpha} = 10

\sin\alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

Kiedy NIE używać tych twierdzeń?

Twierdzenie sinusów i cosinusów to narzędzia do trójkątów ogólnych. Jeśli wiesz, że trójkąt jest prostokątny, masz prostsze metody:

Sytuacja	Lepsze narzędzie	Dlaczego?
Trójkąt prostokątny, szukam boku	Twierdzenie Pitagorasa	$a^2 + b^2 = c^2$ - szybciej i prościej
Trójkąt prostokątny, szukam kąta	Definicja sin/cos/tan	$\sin\alpha = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}}$
Trójkąt 30-60-90 lub 45-45-90	Stałe proporcje boków	$1 : \sqrt{3} : 2$ lub $1 : 1 : \sqrt{2}$
Pole trójkąta prostokątnego	$P = \frac{1}{2}ab$	Przyprostokątne to od razu podstawa i wysokość

Tabela porównawcza: twierdzenie sinusów vs cosinusów

Cecha	Twierdzenie sinusów	Twierdzenie cosinusów
Wzór	$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = 2R$	$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$
Gdy mam BKK	Tak - idealne	Nie
Gdy mam BKB	Nie	Tak - idealne
Gdy mam BBB	Nie	Tak - wyliczam kąt
Gdy mam BBK (kąt naprzeciwko)	Tak, ale uwaga na niejednoznaczność	Nie
Daje promień R	Tak - wprost	Nie
Związek z Pitagorasem	Brak	Uogólnienie (dla 90° daje Pitagorasa)
Najczęstsza pułapka	Przypadek niejednoznaczny (dwa kąty)	Zapomnienie o znaku minusa przy cos > 90°

Strategia na maturze - podsumowanie

Kiedy na arkuszu zobaczysz trójkąt ogólny (nie prostokątny), wykonaj te kroki:

1.Oznacz dane - wpisz znane boki i kąty na rysunek.
2.Sprawdź, czy jest kąt prosty - jeśli tak, użyj Pitagorasa.
3.Policz dane - ile znasz boków? Ile kątów?
4.Zastosuj algorytm decyzyjny z tabeli wyżej.
5.Jeśli szukasz pola - pomyśl o wzorze $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .
6.Jeśli szukasz $R$ - myśl: sinusy.

Oba twierdzenia są na karcie wzorów, więc nie stresujesz się zapamiętywaniem. Twoim zadaniem jest rozpoznać sytuację i wybrać odpowiednie narzędzie. Przećwicz to na zadaniach z trygonometrii i planimetrii - im więcej trójkątów rozwiążesz, tym szybciej będziesz podejmować decyzje na egzaminie.

Jeśli chcesz ogarnąć trygonometrię szerzej - definicje, wykresy, równania - zajrzyj do kompletnego przewodnika po trygonometrii maturalnej. A jeśli potrzebujesz powtórki z planimetrii, tam też znajdziesz twierdzenia sinusów i cosinusów w kontekście konkretnych figur.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Kategoria: Trygonometria

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2916

zadań CKE

2916

rozwiązań

2401

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego i kąta w układzie współrzędnych - wzory i zadania maturalne

Jak obliczyć sinus, cosinus i tangens kąta, którego ramię przechodzi przez punkt P, i dlaczego dla kąta rozwartego cosinus i tangens są ujemne. Definicje z układu współrzędnych, tabela znaków, zamiana kąta rozwartego na ostry i sześć zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - podwojony kąt i zadania z matury rozszerzonej

Sinus sumy miesza funkcje i kopiuje znak, cosinus sumy nie miesza i odwraca znak. Z czterech wzorów bazowych wyprowadzamy podwojony kąt i zamianę sumy na iloczyn, a potem rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z arkuszy rozszerzonych CKE.

Rozwiązanie zadania

Jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens - zadania maturalne

Znasz tangens kąta i masz obliczyć sinus oraz cosinus? Poznaj dwie niezawodne metody: trójkąt prostokątny i jedynkę trygonometryczną, wzór na cosinus kwadrat z tangensa oraz 5 zadań w stylu arkuszy CKE, łącznie z kątem rozwartym.