W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty oraz sin (∢ABC)=1/3. Oblicz tg (∢ABC).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(2)/4
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-115.png]
Dane są: - trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku A - sin(∠ABC) = 1/3
Szukamy: tg(∠ABC)
Krok 2: Oznaczenie kąta
Oznaczmy α= ∠ABC
Wiemy, że sin α= 1/3
Krok 3: Znajdowanie cosinusa
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin² α+ cos² α= 1
Podstawiamy: (1/3)² + cos² α= 1
1/9 + cos² α= 1
cos² α= 1 - 1/9 = 8/9
Krok 4: Wyznaczenie cosinusa
Ponieważ α= ∠ABC jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to cos α> 0, zatem: cos α= √(8/9) = √(8)/3 = 2√(2)/3
Krok 5: Obliczenie tangensa
Korzystamy ze wzoru: tg α= sin α/(cos α)
Podstawiamy: tg α= 1/3/(2√(2)/3) = 1/3 · 3/(2√(2)) = 1/(2√(2))
Krok 6: Usunięcie niewymierności z mianownika
tg α= 1/(2√(2)) · √(2)/√(2) = √(2)/(2 · 2) = √(2)/4
Odpowiedź: tg(∠ABC) = √(2)/4
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.