Przejdź do treści

Trygonometria na maturze z matematyki - wzory, zadania i rozwiązania krok po kroku

Wzory z trygonometrii na maturę, znaki funkcji w ćwiartkach i zadania z rozwiązaniami krok po kroku, od jedynki trygonometrycznej po twierdzenie cosinusów.

Opublikowano: · zaktualizowano · 5 min czytania

Spis treści

Zadania z trygonometrii na maturze rozwiązujesz kilkoma wzorami: definicjami sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym, jedynką trygonometryczną sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, tabelą kątów 30°30°, 45°45°, 60°60° oraz twierdzeniami sinusów i cosinusów. Poniżej masz te wzory, znaki funkcji w ćwiartkach i zadania z rozwiązaniami krok po kroku, a na końcu zadanie maturalne CKE do samodzielnego rozwiązania.

W skrócie

  • Sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną, cosinus to przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną.
  • Z jedynki trygonometrycznej przy sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5} dostajesz cos⁡2α=1625\cos^2\alpha = \frac{16}{25}, czyli cos⁡α=±45\cos\alpha = \pm\frac{4}{5}.
  • W drugiej ćwiartce, dla kąta z przedziału (90°,180°)(90°, 180°), sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne.
  • Twierdzenie cosinusów stosujesz przy dwóch bokach i kącie między nimi, twierdzenie sinusów przy boku i kącie naprzeciw niego.
  • Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi to P=12absin⁡γP = \frac{1}{2}ab\sin\gamma.

Dlaczego trygonometria jest ważna na maturze?

Trygonometria pojawia się na maturze z matematyki niemal co roku, zarówno w zadaniach zamkniętych, jak i otwartych, często razem z planimetrią albo stereometrią. Wszystkie zadania maturalne z tego działu, z rozwiązaniami, znajdziesz w dziale trygonometria w bazie zadań. Zrozumienie kilku kluczowych wzorów pozwala szybko rozwiązywać te zadania i oszczędzać czas na trudniejsze partie egzaminu.

188 zadań CKE z rozwiązaniami Ćwicz dział Trygonometria

Podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych

Dla kąta ostrego α\alpha w trójkącie prostokątnym:

sin⁡α=przyprostokątna naprzeciw αprzeciwprostokątna\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} cos⁡α=przyprostokątna przy αprzeciwprostokątna\cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=przyprostokątna naprzeciwprzyprostokątna przy\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przyprostokątna przy}}

Te trzy definicje to absolutna podstawa - jeśli je rozumiesz, połowa zadań trygonometrycznych staje się oczywista.

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla dowolnego kąta policzysz w kalkulatorze trygonometrycznym. Działa też w drugą stronę: podajesz wartość funkcji, a dostajesz kąt, razem z zapisem dokładnym tam, gdzie taki istnieje.

Kalkulator trygonometryczny: sin, cos, tg, ctg

Wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta, dokładne dla 30, 45 i 60 stopni. Wzory redukcyjne i jedynka trygonometryczna krok po kroku.

Otwórz narzędzie: Kalkulator trygonometryczny: sin, cos, tg, ctg

Jedynka trygonometryczna i tożsamości

Najważniejszy wzór, który pojawia się na maturze najczęściej:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Z jedynki trygonometrycznej wynikają przekształcenia, które CKE uwielbia testować:

  • •Jeśli znasz sin⁡α\sin\alpha, obliczysz cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}
  • •Jeśli znasz cos⁡α\cos\alpha, obliczysz sin⁡α=±1−cos⁡2α\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}

Znak zależy od ćwiartki - na maturze podstawowej najczęściej operujemy na kątach ostrych, więc obie funkcje są dodatnie.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych

Ta tabelka to absolutny must-know przed egzaminem:

Kątsin⁡\sincos⁡\costg⁡\tg
30°30°12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}33\frac{\sqrt{3}}{3}
45°45°22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
60°60°32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}

Trick do zapamiętania sinusów: 12,22,32\frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - pod pierwiastkiem idą kolejno 1, 2, 3.

Wartości sprawdzisz też w interaktywnej tabeli trygonometrycznej - przełączasz jednostki (stopnie lub radiany), zakres kątów (podstawowy lub pełny) oraz zapis (dokładny lub dziesiętny), a całą tabelę kopiujesz jednym kliknięciem.

Tabela trygonometryczna: sin, cos, tg, ctg

Pełna tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60, 90 stopni i całego zakresu 0-360. Wartości dokładne i dziesiętne, przełącznik stopnie/radiany, kopiowanie. Do matury z matematyki.

Otwórz kalkulator: Tabela trygonometryczna: sin, cos, tg, ctg

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Na maturze zadania z planimetrii często wymagają jednego z tych twierdzeń:

Twierdzenie cosinusów (uogólnienie Pitagorasa):
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha Twierdzenie sinusów:
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

Kiedy którego używać?

  • •Znasz dwa boki i kąt między nimi - twierdzenie cosinusów
  • •Znasz bok i kąt naprzeciw niego - twierdzenie sinusów
  • •Musisz znaleźć promień okręgu opisanego RR - twierdzenie sinusów

Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach

Kąt z przedziału (0°,360°)(0°, 360°) leży w jednej z czterech ćwiartek układu współrzędnych, a ćwiartka decyduje o znaku sinusa, cosinusa i tangensa. Sinus odpowiada współrzędnej yy punktu na ramieniu kąta, cosinus współrzędnej xx, a tangens to ich iloraz.

ĆwiartkaKątsin⁡\sincos⁡\costg⁡\tg
I(0°,90°)(0°, 90°)++++++
II(90°,180°)(90°, 180°)++−-−-
III(180°,270°)(180°, 270°)−-−-++
IV(270°,360°)(270°, 360°)−-++−-

Na maturze podstawowej najczęściej spotkasz drugą ćwiartkę, bo kąt rozwarty w trójkącie ma od 90°90° do 180°180°. Dla takiego kąta sin⁡α>0\sin\alpha > 0, ale cos⁡α<0\cos\alpha < 0 i tg⁡α<0\tg\alpha < 0. Przykład: cos⁡120°=−cos⁡60°=−12\cos 120° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}, a sin⁡120°=sin⁡60°=32\sin 120° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Najczęstsze błędy na maturze

Błąd 1: Zamiana sinusa z cosinusem. Przy kącie 30°30° wielu uczniów podaje sin⁡30°=32\sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} - to cosinus! Pamiętaj: sinus 30° to ta mniejsza wartość (12\frac{1}{2}).

Błąd 2: Zapominanie o znaku. W zadaniach z ćwiartkami (kąty tępe) cosinus jest ujemny. Jeśli α∈(90°,180°)\alpha \in (90°, 180°), to cos⁡α<0\cos\alpha < 0.

Błąd 3: Błędne stosowanie tw. cosinusów. Kąt α\alpha musi być naprzeciw boku aa, nie przy nim. Pomyłka w tej kwestii daje zupełnie błędny wynik.

Rozwiązane przykłady krok po kroku

Przykład 1: Jedynka trygonometryczna z ćwiartkami

0/4
Trygonometria

Treść: Kąt α\alpha spełnia warunki sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5} oraz α∈(90°,180°)\alpha \in (90°, 180°). Oblicz cos⁡α\cos\alpha i tg⁡α\tg\alpha.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej:
cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} cos⁡α=±45\cos\alpha = \pm\frac{4}{5} Ponieważ α∈(90°,180°)\alpha \in (90°, 180°) (druga ćwiartka), cosinus jest ujemny:
cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5} Tangens:
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=35−45=−34\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
Odpowiedź:

cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5}, tg⁡α=−34\tg\alpha = -\frac{3}{4}

Przykład 2: Twierdzenie cosinusów

0/4
Trygonometria

Treść: W trójkącie ABCABC dane są: a=7a = 7, b=5b = 5, c=8c = 8. Oblicz cosinus kąta α\alpha (naprzeciw boku aa).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Z twierdzenia cosinusów:
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha 49=25+64−80cos⁡α49 = 25 + 64 - 80\cos\alpha 49=89−80cos⁡α49 = 89 - 80\cos\alpha 80cos⁡α=4080\cos\alpha = 40 cos⁡α=4080=12\cos\alpha = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}

Zatem α=60°\alpha = 60°.

Odpowiedź:

cos⁡α=12\cos\alpha = \frac{1}{2}, czyli α=60°\alpha = 60°

Przykład 3: Pole trójkąta z sinusem

0/4
Trygonometria

Treść: Dwa boki trójkąta mają długości 6 cm i 10 cm, a kąt między nimi wynosi 30°30°. Oblicz pole tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Wzór na pole trójkąta z sinusem kąta:
P=12⋅a⋅b⋅sin⁡γP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma P=12⋅6⋅10⋅sin⁡30°P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30° P=12⋅6⋅10⋅12=15 cm2P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 15 \text{ cm}^2
Odpowiedź:

Pole trójkąta wynosi 15 cm215 \text{ cm}^2

Przykład 4: Twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego

0/4
Trygonometria

Treść: W trójkącie ABCABC dane są: a=10a = 10 i α=30°\alpha = 30°. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Z twierdzenia sinusów:
asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R 10sin⁡30°=2R\frac{10}{\sin 30°} = 2R 1012=2R\frac{10}{\frac{1}{2}} = 2R 20=2R20 = 2R R=10R = 10
Odpowiedź:

Promień okręgu opisanego wynosi R=10R = 10

188 zadań CKE z rozwiązaniami Ćwicz dział Trygonometria

Teraz ty

Spróbuj sam zadania z prawdziwego arkusza CKE tego samego typu co przykład 1: znasz sinus kąta ostrego, a liczysz pozostałe funkcje z jedynki trygonometrycznej.

Matura sierpień 2021Zadanie 16Trygonometria1 pkt
Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=725\sin \alpha=\frac{7}{25}. Wynika stąd, że
  • A. cos⁡α=576625\cos \alpha=\frac{576}{625}
  • B. cos⁡α=2425\cos \alpha=\frac{24}{25}
  • C. cos⁡α=−2425\cos \alpha=-\sqrt{\frac{24}{25}}
  • D. cos⁡α=1825\cos \alpha=\frac{18}{25}
Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie wczytuje się po otwarciu. Otwórz w aplikacji.

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Jak ćwiczyć trygonometrię przed maturą

Rekomendowana kolejność:

  1. 1.Opanuj wartości kątów szczególnych - to baza, bez niej nic nie policzysz
  2. 2.Przećwicz jedynkę trygonometryczną na 5-10 zadaniach zamkniętych
  3. 3.Rozwiąż zadania z twierdzeniem cosinusów i sinusów w kontekście planimetrii
  4. 4.Spróbuj zadań otwartych łączących trygonometrię ze stereometrią

Na Sprawnej Maturze zadania z trygonometrii mają pełne rozwiązania krok po kroku. Zacznij od najnowszych arkuszy i cofaj się w czasie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć cosinus, gdy znam sinus kąta?

Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej: cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha, a potem wyciągnij pierwiastek. Znak wybierasz według ćwiartki: dla kąta ostrego cosinus jest dodatni, dla kąta rozwartego ujemny. Przy sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5} i kącie ostrym cos⁡α=45\cos\alpha = \frac{4}{5}.

Kiedy cosinus kąta jest ujemny?

W drugiej i trzeciej ćwiartce, czyli dla kątów z przedziałów (90°,180°)(90°, 180°) i (180°,270°)(180°, 270°). W zadaniach maturalnych z trójkątem oznacza to kąt rozwarty. Sinus kąta rozwartego jest dodatni, więc z samego sinusa nie poznasz, czy kąt jest ostry, czy rozwarty.

Kiedy stosować twierdzenie sinusów, a kiedy twierdzenie cosinusów?

Twierdzenie cosinusów stosujesz, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki. Twierdzenie sinusów stosujesz, gdy znasz bok i kąt leżący naprzeciw niego, a także wtedy, gdy liczysz promień okręgu opisanego na trójkącie.

Kategoria: Trygonometria

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Prawdziwe zadania z matur CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Zacznij od działu, o którym właśnie czytasz.

Ćwicz dział Trygonometria

188 zadań CKE z rozwiązaniami

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Czytaj dalej

Przewodnik tematyczny

Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami

Wzory obu twierdzeń, prosty algorytm wyboru, pole trójkąta przez sinus i 7 rozwiązanych zadań, w tym zadanie z informatora CKE.

Rozwiązanie zadania

Jak rozwiązać równanie trygonometryczne - metody, wzory i zadania maturalne krok po kroku

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych: sprowadzanie do postaci sin x = a, tożsamości, podstawienie. 6 zadań maturalnych krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Jedynka trygonometryczna - wzór, dowód i zadania matura krok po kroku

Jedynka trygonometryczna sin²α + cos²α = 1: dowód z Pitagorasa, jak obliczyć cosα ze sinα, znaki w ćwiartkach i 5 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku.

Pliki cookie

Niezbędne pliki cookie utrzymują logowanie i ustawienia. Za Twoją zgodą używamy też analitycznych (PostHog) i reklamowych (Meta, Google Ads), żeby wiedzieć, które kampanie działają. Bez zgody liczymy wizyty anonimowo, bez plików cookie. Wybór zmienisz w każdej chwili. Polityka prywatności