Przejdź do treści
Trygonometria

Trygonometria na maturze z matematyki - wzory, zadania i rozwiązania krok po kroku

Kompletny przewodnik po trygonometrii na maturze podstawowej. Najważniejsze wzory, typowe pułapki i rozwiązania przykładowych zadań CKE z wyjaśnieniem każdego kroku.

·3 min czytania

Dlaczego trygonometria jest ważna na maturze?

Trygonometria pojawia się na maturze z matematyki niemal co roku - zarówno w zadaniach zamkniętych (1 punkt), jak i otwartych (2-5 punktów). Na przestrzeni lat 2015-2025 stanowiła średnio 3-4 zadania na arkusz, co daje nawet 8-10 punktów do zdobycia. Zrozumienie kilku kluczowych wzorów pozwala szybko rozwiązywać te zadania i oszczędzać czas na trudniejsze partie egzaminu.

Podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych

Dla kąta ostrego α\alpha w trójkącie prostokątnym:

sin⁡α=przyprostokątna naprzeciw αprzeciwprostokątna\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} cos⁡α=przyprostokątna przy αprzeciwprostokątna\cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=przyprostokątna naprzeciwprzyprostokątna przy\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przyprostokątna przy}}

Te trzy definicje to absolutna podstawa - jeśli je rozumiesz, połowa zadań trygonometrycznych staje się oczywista.

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla dowolnego kąta policzysz w kalkulatorze trygonometrycznym. Działa też w drugą stronę: podajesz wartość funkcji, a dostajesz kąt, razem z zapisem dokładnym tam, gdzie taki istnieje.

Kalkulator trygonometryczny: sin, cos, tg, ctg

Wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta, dokładne dla 30, 45 i 60 stopni. Wzory redukcyjne i jedynka trygonometryczna krok po kroku.

Otwórz narzędzie: Kalkulator trygonometryczny: sin, cos, tg, ctg

Jedynka trygonometryczna i tożsamości

Najważniejszy wzór, który pojawia się na maturze najczęściej:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Z jedynki trygonometrycznej wynikają przekształcenia, które CKE uwielbia testować:

  • •Jeśli znasz sin⁡α\sin\alpha, obliczysz cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}
  • •Jeśli znasz cos⁡α\cos\alpha, obliczysz sin⁡α=±1−cos⁡2α\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}

Znak zależy od ćwiartki - na maturze podstawowej najczęściej operujemy na kątach ostrych, więc obie funkcje są dodatnie.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych

Ta tabelka to absolutny must-know przed egzaminem:

Kątsin⁡\sincos⁡\costg⁡\tg
30°30°12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}33\frac{\sqrt{3}}{3}
45°45°22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
60°60°32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}

Trick do zapamiętania sinusów: 12,22,32\frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - pod pierwiastkiem idą kolejno 1, 2, 3.

Wartości sprawdzisz też w interaktywnej tabeli trygonometrycznej - przełączasz jednostki (stopnie lub radiany), zakres kątów (podstawowy lub pełny) oraz zapis (dokładny lub dziesiętny), a całą tabelę kopiujesz jednym kliknięciem.

Tabela trygonometryczna: sin, cos, tg, ctg

Pełna tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60, 90 stopni i całego zakresu 0-360. Wartości dokładne i dziesiętne, przełącznik stopnie/radiany, kopiowanie. Do matury z matematyki.

Otwórz kalkulator: Tabela trygonometryczna: sin, cos, tg, ctg

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Na maturze zadania z planimetrii często wymagają jednego z tych twierdzeń:

Twierdzenie cosinusów (uogólnienie Pitagorasa):
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha Twierdzenie sinusów:
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

Kiedy którego używać?

  • •Znasz dwa boki i kąt między nimi - twierdzenie cosinusów
  • •Znasz bok i kąt naprzeciw niego - twierdzenie sinusów
  • •Musisz znaleźć promień okręgu opisanego RR - twierdzenie sinusów

Najczęstsze błędy na maturze

Błąd 1: Zamiana sinusa z cosinusem. Przy kącie 30°30° wielu uczniów podaje sin⁡30°=32\sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} - to cosinus! Pamiętaj: sinus 30° to ta mniejsza wartość (12\frac{1}{2}).

Błąd 2: Zapominanie o znaku. W zadaniach z ćwiartkami (kąty tępe) cosinus jest ujemny. Jeśli α∈(90°,180°)\alpha \in (90°, 180°), to cos⁡α<0\cos\alpha < 0.

Błąd 3: Błędne stosowanie tw. cosinusów. Kąt α\alpha musi być naprzeciw boku aa, nie przy nim. Pomyłka w tej kwestii daje zupełnie błędny wynik.

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Przykład 1: Jedynka trygonometryczna z ćwiartkami

0/4
Trygonometria

Treść: Kąt α\alpha spełnia warunki sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5} oraz α∈(90°,180°)\alpha \in (90°, 180°). Oblicz cos⁡α\cos\alpha i tg⁡α\tg\alpha.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej:
cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} cos⁡α=±45\cos\alpha = \pm\frac{4}{5} Ponieważ α∈(90°,180°)\alpha \in (90°, 180°) (druga ćwiartka), cosinus jest ujemny:
cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5} Tangens:
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=35−45=−34\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
Odpowiedź:

cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5}, tg⁡α=−34\tg\alpha = -\frac{3}{4}

Przykład 2: Twierdzenie cosinusów

0/4
Trygonometria

Treść: W trójkącie ABCABC dane są: a=7a = 7, b=5b = 5, c=8c = 8. Oblicz cosinus kąta α\alpha (naprzeciw boku aa).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Z twierdzenia cosinusów:
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha 49=25+64−80cos⁡α49 = 25 + 64 - 80\cos\alpha 49=89−80cos⁡α49 = 89 - 80\cos\alpha 80cos⁡α=4080\cos\alpha = 40 cos⁡α=4080=12\cos\alpha = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}

Zatem α=60°\alpha = 60°.

Odpowiedź:

cos⁡α=12\cos\alpha = \frac{1}{2}, czyli α=60°\alpha = 60°

Przykład 3: Pole trójkąta z sinusem

0/4
Trygonometria

Treść: Dwa boki trójkąta mają długości 6 cm i 10 cm, a kąt między nimi wynosi 30°30°. Oblicz pole tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Wzór na pole trójkąta z sinusem kąta:
P=12⋅a⋅b⋅sin⁡γP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma P=12⋅6⋅10⋅sin⁡30°P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30° P=12⋅6⋅10⋅12=15 cm2P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 15 \text{ cm}^2
Odpowiedź:

Pole trójkąta wynosi 15 cm215 \text{ cm}^2

Przykład 4: Twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego

0/4
Trygonometria

Treść: W trójkącie ABCABC dane są: a=10a = 10 i α=30°\alpha = 30°. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Z twierdzenia sinusów:
asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R 10sin⁡30°=2R\frac{10}{\sin 30°} = 2R 1012=2R\frac{10}{\frac{1}{2}} = 2R 20=2R20 = 2R R=10R = 10
Odpowiedź:

Promień okręgu opisanego wynosi R=10R = 10

Jak ćwiczyć trygonometrię przed maturą

Rekomendowana kolejność:

  1. 1.Opanuj wartości kątów szczególnych - to baza, bez niej nic nie policzysz
  2. 2.Przećwicz jedynkę trygonometryczną na 5-10 zadaniach zamkniętych
  3. 3.Rozwiąż zadania z twierdzeniem cosinusów i sinusów w kontekście planimetrii
  4. 4.Spróbuj zadań otwartych łączących trygonometrię ze stereometrią

Na Sprawnej Maturze masz ponad 120 zadań z trygonometrii z pełnymi rozwiązaniami - zacznij od najnowszych arkuszy (2024-2026) i cofaj się w czasie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - podwojony kąt i zadania z matury rozszerzonej

Sinus sumy miesza funkcje i kopiuje znak, cosinus sumy nie miesza i odwraca znak. Z czterech wzorów bazowych wyprowadzamy podwojony kąt i zamianę sumy na iloczyn, a potem rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z arkuszy rozszerzonych CKE.

Rozwiązanie zadania

Jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens - zadania maturalne

Znasz tangens kąta i masz obliczyć sinus oraz cosinus? Poznaj dwie niezawodne metody: trójkąt prostokątny i jedynkę trygonometryczną, wzór na cosinus kwadrat z tangensa oraz 5 zadań w stylu arkuszy CKE, łącznie z kątem rozwartym.

Rozwiązanie zadania

Wzory na podwojony kąt - sin 2x, cos 2x i tg 2x z zadaniami

Komplet wzorów na podwojony kąt z wyprowadzeniem z sumy kątów, regułą wyboru właściwej postaci cosinusa oraz dziewięcioma rozwiązanymi przykładami w stylu maturalnym.