Jak rozwiązać równanie trygonometryczne - metody, wzory i zadania maturalne krok po kroku

Równania trygonometryczne to temat, który na maturze podstawowej pojawia się w prostszej formie ($\sin x = a$, $\cos x = a$), a na rozszerzeniu potrafi być zadaniem za 5-6 punktów. Klucz: mało kto rozwiązuje je dobrze za pierwszym razem, bo zapomina o okresowości i gubi rozwiązania.

W tym przewodniku pokażę ci 5 metod, które pokrywają 95% zadań CKE. Po 6 rozwiązanych przykładach będziesz wiedzieć, co robić nawet z trudniejszym równaniem.

Metoda 1 - równanie postaci sin x = a

Dla $a \in [-1, 1]$, ogólne rozwiązanie równania $\sin x = a$ to:

$$x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Dla $|a| > 1$ równanie nie ma rozwiązań (sinus przyjmuje wartości tylko od $-1$ do $1$).

Na maturze najczęściej zadania ograniczają $x$ do przedziału $[0, 2\pi]$ lub $[0°, 360°]$. Wtedy z ogólnego wzoru wybierasz te rozwiązania, które do tego przedziału pasują.

Metoda 2 - równanie postaci cos x = a

Dla $\cos x = a$, $a \in [-1, 1]$:

$$x = \arccos a + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Krócej: $x = \pm \arccos a + 2k\pi$.

Metoda 3 - równanie postaci tg x = a

Dla $\tan x = a$ (dowolne $a \in \mathbb{R}$):

$$x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Zwróć uwagę: okres tangensa to $\pi$, nie $2\pi$.

Metoda 4 - sprowadzanie do jednej funkcji przez tożsamości

Jeśli widzisz mix $\sin$ i $\cos$, użyj jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Przykład: $2\sin^2 x - \cos x - 1 = 0$. Zamieniasz $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, dostajesz równanie kwadratowe względem $\cos x$.

Przydadzą się też wzory na kąt podwojony:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$
$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$$

Metoda 5 - podstawienie t = sin x (lub cos x, tg x)

Jeśli równanie da się zapisać jako wielomian jednej funkcji trygonometrycznej, podstawiasz $t = \sin x$ i rozwiązujesz jak zwykłe równanie algebraiczne. Więcej o rozwiązywaniu równań kwadratowych w poście równania kwadratowe.

Zadanie 1 - sin x = 1/2 w przedziale [0, 2π]

Rozwiąż równanie $\sin x = \frac{1}{2}$ dla $x \in [0, 2\pi]$.

Rozwiązanie:

$\sin x = \frac{1}{2}$ dla $x = \frac{\pi}{6}$ oraz $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Odpowiedź: $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.

Wartości sinusa dla kątów standardowych znajdziesz w poście wartości funkcji trygonometrycznych.

Zadanie 2 - cos 2x = 0 w przedziale [0, 2π]

Rozwiąż $\cos 2x = 0$ dla $x \in [0, 2\pi]$.

Rozwiązanie:

$\cos t = 0$ dla $t = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Podstaw $t = 2x$: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, więc $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

Dla $x \in [0, 2\pi]$: $k = 0, 1, 2, 3$ dają $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

Odpowiedź: $x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$.

Zadanie 3 - równanie kwadratowe w sin x

Rozwiąż $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ dla $x \in [0, 2\pi]$.

Rozwiązanie:

Podstaw $t = \sin x$: $2t^2 - t - 1 = 0$.

$\Delta = 1 + 8 = 9$, $t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Dla $\sin x = 1$: $x = \frac{\pi}{2}$.

Dla $\sin x = -\frac{1}{2}$: $x = \frac{7\pi}{6}$ lub $x = \frac{11\pi}{6}$.

Odpowiedź: $x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$.

Zadanie 4 - wykorzystanie jedynki trygonometrycznej

Rozwiąż $\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1}{2}$ dla $x \in [0, 2\pi]$.

Rozwiązanie:

Lewa strona to wzór na $\cos 2x$: $\cos 2x = \frac{1}{2}$.

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, więc $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$.

W przedziale: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

Odpowiedź: 4 rozwiązania jak wyżej.

Zadanie 5 - tangens

Rozwiąż $\tan x = \sqrt{3}$ dla $x \in [0, 2\pi]$.

Rozwiązanie:

$\tan x = \sqrt{3}$ dla $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$.

W przedziale: $x = \frac{\pi}{3}$ i $x = \frac{4\pi}{3}$.

Odpowiedź: $x \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\}$.

Zadanie 6 - iloczyn równy zero

Rozwiąż $\sin x \cos x = 0$ dla $x \in [0, 2\pi]$.

Rozwiązanie:

Iloczyn = 0 gdy jeden z czynników = 0.

$\sin x = 0$: $x = 0, \pi, 2\pi$.

$\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

Odpowiedź: $x \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\}$.

Typowe pułapki

1. Zapomniana okresowość. Piszesz tylko $x = \frac{\pi}{6}$, zapominając o $\frac{5\pi}{6}$. Zawsze dwa rozwiązania w okresie dla $\sin$ i $\cos$.

2. Złe przedziały. Zadanie mówi $[0, 2\pi]$, ty piszesz ogólne $+ 2k\pi$ bez wypisania konkretnych wartości.

3. Dzielenie przez funkcję trygonometryczną. Dzielisz obie strony przez $\cos x$, ale $\cos x$ może być zerem - tracisz rozwiązania.

4. Pomylenie okresu tangensa. Tangens ma okres $\pi$, nie $2\pi$.

Podsumowanie

Więcej teorii w przewodniku po trygonometrii i wzorach trójkątów.