Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α i β, w którym sin α= √(6)/3. Wtedy
Odpowiedzi do wyboru
- A.cos α=√(3)/2
- B.cos β=√(6)/3
- C.tg α=√(3)/3
- D.tg β=√(6)/2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-42.png]
Dane jest, że w trójkącie prostokątnym sin α= √(6)/3, gdzie α i β to kąty ostre.
Krok 2: Znajdźmy cos α
Z jedynki trygonometrycznej: sin² α+ cos² α= 1
(√(6)/3)² + cos² α= 1
6/9 + cos² α= 1
2/3 + cos² α= 1
cos² α= 1/3
cos α= √(3)/3 = 1/√(3)
(wartość dodatnia, bo α jest kątem ostrym)
Opcja A jest błędna, bo cos α= √(3)/3 ≠ √(3)/2.
Krok 3: Wykorzystajmy związek między kątami
W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90°, więc: α+ β= 90°
Zatem: β= 90° - α
Krok 4: Znajdźmy cos β
Ze wzoru na kąty dopełniające: cos β= cos(90° - α) = sin α= √(6)/3
Opcja B jest prawdziwa.
Krok 5: Sprawdźmy opcję C
tg α= sin α/(cos α) = √(6)/3/(√(3)/3) = √(6)/√(3) = √(6/3) = √(2)
Opcja C jest błędna, bo tg α= √(2) ≠ √(3)/3.
Krok 6: Sprawdźmy opcję D
tg β= sin β/(cos β) = cos α/(sin α) = √(3)/3/(√(6)/3) = √(3)/√(6) = √(3/6) = 1/√(2) = √(2)/2
Opcja D jest błędna, bo tg β= √(2)/2 ≠ √(6)/2.
Odpowiedź: B
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.