W tabelce podano wartości funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c dla wybranych trzech argumentów. | x | 0 | 1 | 6 | | --- | --- | --- | --- | | f(x) | -2 1/2 | 0 | -2 1/2 | Rozwiąż nierówność f(x) ≥ 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ ⟨1,5⟩
Zapisuje się dane z tabeli w postaci wygodnej do obliczeń:
f(0) = -2 1/2 = -5/2 f(1) = 0 f(6) = -5/2
Krok 1: Wyznaczenie współczynników funkcji
Z warunku f(0) = -5/2: c = -5/2
Z warunku f(1) = 0: a + b + c = 0 a + b - 5/2 = 0 a + b = 5/2 ...(1)
Z warunku f(6) = -5/2: 36a + 6b + c = -5/2 36a + 6b - 5/2 = -5/2 36a + 6b = 0 6a + b = 0 b = -6a ...(2)
Krok 2: Rozwiązanie układu równań
Podstawia się (2) do (1): a + (-6a) = 5/2 -5a = 5/2 a = -1/2
Z równania (2): b = -6 · (-1/2) = 3
Krok 3: Postać funkcji
f(x) = -1/2 x² + 3x - 5/2
Krok 4: Znajdowanie miejsc zerowych
Wiemy już, że f(1) = 0. Wyznacza się drugie miejsce zerowe:
-1/2 x² + 3x - 5/2 = 0
Mnoży się przez -2: x² - 6x + 5 = 0
Korzysta się ze wzorów Viète'a lub rozkłada: (x-1)(x-5) = 0
Miejsca zerowe: x₁ = 1, x₂ = 5
Krok 5: Analiza znaku funkcji
Funkcja f(x) = -1/2(x-1)(x-5)
Współczynnik a = -1/2 < 0, więc parabola ma ramiona skierowane w dół.
Funkcja jest nieujemna (f(x) ≥ 0) pomiędzy miejscami zerowymi (włącznie):
f(x) ≥ 0 dla x ∈ ⟨1, 5⟩
Odpowiedź: x ∈ ⟨1, 5⟩
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.