Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale - metoda krok po kroku

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale to jeden z najczęstszych typów zadań na maturze podstawowej. Z naszej analizy arkuszy maturalnych 2010-2025 ten typ pojawił się w ponad 70 procentach egzaminów, zwykle jako zadanie zamknięte za 1 punkt albo jako otwarte za 3-4 punkty w połączeniu z zadaniem optymalizacyjnym. To temat, na którym wielu uczniów traci pewne punkty tylko dlatego, że odruchowo wstawiają wzór na wierzchołek, nie sprawdzając, czy ten wierzchołek w ogóle leży w zadanym przedziale.

W tym poście pokażę ci dokładnie, kiedy ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale to wierzchołek paraboli, a kiedy musisz spojrzeć na końce przedziału. Rozpiszemy schemat działania na cztery proste kroki, rozwiążemy razem pięć zadań maturalnych w różnych konfiguracjach i przejdziemy przez pułapki, w które wpada większość zdających. Na końcu znajdziesz checklistę, której możesz używać w stresie maturalnym.

Dlaczego ten typ zadania pojawia się co roku

Funkcja kwadratowa to jeden z fundamentów matury podstawowej. CKE bardzo lubi sprawdzać, czy uczeń rozumie pojęcie ekstremum funkcji w przedziale, bo to wymaga połączenia kilku umiejętności: znajomości postaci funkcji kwadratowej, wyznaczania wierzchołka, analizy monotoniczności i porównania wartości na końcach przedziału. Dla CKE jest to idealny test rozumienia, a nie tylko "podstawiania do wzoru".

Najczęstsze warianty tego zadania, które spotkałem w arkuszach:

• •"Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = x^2 - 4x + 1$ w przedziale $\langle 0, 5 \rangle$" - klasyk za 2 punkty
• •"Funkcja kwadratowa przyjmuje w przedziale $\langle -1, 3 \rangle$ wartość najmniejszą równą... " - wariant z parametrem
• •"Pole prostokąta wyrażone jako funkcja $P(x) = x(10-x)$. Wyznacz największe pole dla $x \in (0, 10)$" - zadanie optymalizacyjne

W każdym z tych przypadków klucz jest ten sam: czy wierzchołek paraboli mieści się w naszym przedziale.

Krótkie przypomnienie: funkcja kwadratowa i wierzchołek

Zanim zaczniemy szukać ekstremum w przedziale, upewnij się, że ogarniasz podstawy. Funkcja kwadratowa to funkcja postaci $f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a \neq 0$. Współczynnik $a$ decyduje o kierunku ramion paraboli:

• •jeśli $a > 0$, ramiona skierowane są do góry, parabola ma wierzchołek na dole (minimum globalne)
• •jeśli $a < 0$, ramiona skierowane są w dół, parabola ma wierzchołek u góry (maksimum globalne)

Współrzędne wierzchołka paraboli $W = (p, q)$ liczysz ze wzorów:

$p = -\frac{b}{2a}, \quad q = f(p) = -\frac{\Delta}{4a}$

gdzie $\Delta = b^2 - 4ac$ to wyróżnik. Jeśli zapomniałeś jak liczyć deltę, zerknij do posta delta - wzór, obliczanie, zadania maturalne. Sam wierzchołek omawiamy szczegółowo w jak znaleźć wierzchołek paraboli - jeśli ten temat jeszcze ci umyka, najpierw ogarnij tamten post.

Wzór $p = -\frac{b}{2a}$ jest tu absolutnie kluczowy, bo wszystko, co zaraz zrobimy, zaczyna się od policzenia $p$ i porównania go z końcami przedziału.

Klucz: ekstremum w przedziale to nie zawsze wierzchołek

To jest moment, w którym 4 na 10 uczniów się myli. Wierzchołek to ekstremum globalne, czyli najmniejsza (gdy $a > 0$) lub największa (gdy $a < 0$) wartość funkcji na całym $\mathbb{R}$. Ale gdy ograniczamy się do przedziału $\langle a, b \rangle$, sytuacja zmienia się diametralnie.

Wyobraź sobie parabolę z ramionami do góry i wierzchołkiem w punkcie $p = 5$. Jeśli przedział to $\langle 3, 8 \rangle$, wierzchołek leży w środku przedziału, więc najmniejsza wartość funkcji to $q$ (czyli wartość w wierzchołku), a największa to jedna z wartości na końcach: $f(3)$ albo $f(8)$.

Ale jeśli przedział to $\langle 6, 10 \rangle$, wierzchołek leży poza przedziałem (na lewo od niego). Wtedy funkcja jest monotonicznie rosnąca na całym $\langle 6, 10 \rangle$, bo wierzchołek jest po lewej, a my jesteśmy już na prawym ramieniu paraboli. W tym przypadku najmniejsza wartość to $f(6)$, a największa to $f(10)$. Wzór na wierzchołek byłby tu całkowicie błędny.

To rozróżnienie - "czy wierzchołek jest w przedziale, czy poza" - jest sercem tego zadania. Jeśli to zrozumiesz, nigdy nie pomylisz się przy żadnym ekstremum w przedziale.

Schemat działania w 4 krokach

Każde zadanie z ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale możesz rozwiązać tym samym schematem. Zapisz go i ćwicz aż przejdzie ci w nawyk.

Krok 1: Wyznacz $p = -\frac{b}{2a}$ - pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli. To liczba, którą porównasz z końcami przedziału.

Krok 2: Określ znak współczynnika $a$. Jeśli $a > 0$, parabola ma wierzchołek na dole (minimum), jeśli $a < 0$ - na górze (maksimum). To podpowie ci, czego szukać w wierzchołku.

Krok 3: Sprawdź, czy $p$ należy do przedziału $\langle x_1, x_2 \rangle$:

• •Jeśli $x_1 \leq p \leq x_2$, to wierzchołek jest w przedziale. Jedno z ekstremów (minimum dla $a > 0$ lub maksimum dla $a < 0$) to $q = f(p)$. Drugie ekstremum to większa lub mniejsza z wartości $f(x_1)$ i $f(x_2)$.
• •Jeśli $p < x_1$ lub $p > x_2$, to wierzchołek jest poza przedziałem. Funkcja jest monotoniczna na całym przedziale, więc ekstrema to po prostu wartości na końcach: $f(x_1)$ i $f(x_2)$. Większa z nich to maksimum, mniejsza to minimum.

Krok 4: Policz konkretne wartości i porównaj. Zapisz odpowiedź.

To wszystko. Cztery kroki, każdy mechaniczny. Jeśli trzymasz się tego schematu, nie ma szans, żebyś popełnił błąd. Teraz zobaczmy go w działaniu.

Przykład 1: wierzchołek wewnątrz przedziału, ramiona w górę

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 5$ w przedziale $\langle 0, 5 \rangle$.

Krok 1: Liczymy $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. Wierzchołek ma pierwszą współrzędną $p = 3$.

Krok 2: $a = 1 > 0$, więc ramiona do góry. W wierzchołku jest minimum funkcji.

Krok 3: Czy $p = 3$ należy do $\langle 0, 5 \rangle$? Tak, bo $0 \leq 3 \leq 5$. Wierzchołek jest w przedziale.

Krok 4: Liczymy wartości:

• •W wierzchołku: $q = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$. To minimum.
• •Na lewym końcu: $f(0) = 0 - 0 + 5 = 5$.
• •Na prawym końcu: $f(5) = 25 - 30 + 5 = 0$.

Maksimum to większa z wartości na końcach: $\max\{5, 0\} = 5$.

Odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji to $-4$, największa to $5$.

Zauważ: maksimum osiągnięte zostało na lewym końcu, bo lewy koniec jest dalej od wierzchołka niż prawy. Wierzchołek $p = 3$ jest bliżej prawego końca przedziału ($5 - 3 = 2$) niż lewego ($3 - 0 = 3$). To podpowiedź: dla $a > 0$ większa wartość zawsze jest na tym końcu, który jest dalej od wierzchołka.

Przykład 2: wierzchołek wewnątrz przedziału, ramiona w dół

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ w przedziale $\langle 1, 4 \rangle$.

Krok 1: $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.

Krok 2: $a = -1 < 0$, więc ramiona w dół. W wierzchołku jest maksimum funkcji.

Krok 3: Czy $p = 2$ należy do $\langle 1, 4 \rangle$? Tak, bo $1 \leq 2 \leq 4$. Wierzchołek w przedziale.

Krok 4: Liczymy wartości:

• •W wierzchołku: $q = f(2) = -4 + 8 + 1 = 5$. To maksimum.
• •Na lewym końcu: $f(1) = -1 + 4 + 1 = 4$.
• •Na prawym końcu: $f(4) = -16 + 16 + 1 = 1$.

Minimum to mniejsza z wartości na końcach: $\min\{4, 1\} = 1$.

Odpowiedź: największa wartość funkcji to $5$, najmniejsza to $1$.

Tutaj zadanie wygląda symetrycznie do przykładu 1, ale uważaj na znaki. Gdy $a < 0$, wierzchołek jest maksimum, a minimum siedzi na końcu przedziału. Zawsze sprawdzaj znak $a$ na początku, bo to determinuje wszystko.

Przykład 3: wierzchołek poza przedziałem (po lewej stronie)

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = x^2 - 2x - 3$ w przedziale $\langle 3, 6 \rangle$.

Krok 1: $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Krok 2: $a = 1 > 0$, ramiona do góry. W wierzchołku globalne minimum, ale...

Krok 3: Czy $p = 1$ należy do $\langle 3, 6 \rangle$? Nie. Bo $1 < 3$, więc wierzchołek leży po lewej stronie przedziału. Wierzchołek poza przedziałem.

Co to oznacza? Funkcja kwadratowa z ramionami do góry jest malejąca na lewo od wierzchołka i rosnąca na prawo od wierzchołka. Skoro nasz przedział $\langle 3, 6 \rangle$ leży w całości po prawej stronie wierzchołka (bo $3 > 1$), to funkcja jest na nim rosnąca. Więc najmniejsza wartość to $f(3)$, a największa to $f(6)$.

Krok 4: Liczymy:

• •$f(3) = 9 - 6 - 3 = 0$.
• •$f(6) = 36 - 12 - 3 = 21$.

Odpowiedź: najmniejsza wartość to $0$, największa to $21$. Wierzchołka w ogóle nie używamy w ostatecznej odpowiedzi, ale obliczenie $p = 1$ było konieczne, żeby ustalić, że wierzchołek nie należy do przedziału.

To jest ten przypadek, w którym uczniowie wpadają w pułapkę: wstawiają $q = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$ jako minimum, mimo że $x = 1$ nie należy do dziedziny zadania. Funkcja na przedziale $\langle 3, 6 \rangle$ nigdy nie osiąga wartości $-4$, bo ten punkt jest poza dziedziną. Zawsze sprawdzaj, czy $p$ należy do przedziału.

Przykład 4: wierzchołek na końcu przedziału

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = 2x^2 + 8x + 7$ w przedziale $\langle -2, 1 \rangle$.

Krok 1: $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$.

Krok 2: $a = 2 > 0$, ramiona do góry. Wierzchołek to minimum.

Krok 3: Czy $p = -2$ należy do $\langle -2, 1 \rangle$? Tak, bo wierzchołek wypada dokładnie na lewym końcu przedziału. To przypadek graniczny.

Krok 4: Liczymy:

• •W wierzchołku (czyli na lewym końcu): $f(-2) = 2 \cdot 4 + 8 \cdot (-2) + 7 = 8 - 16 + 7 = -1$. To minimum.
• •Na prawym końcu: $f(1) = 2 + 8 + 7 = 17$. To maksimum.

Odpowiedź: najmniejsza wartość to $-1$, największa to $17$.

Ten przykład pokazuje, że gdy wierzchołek wypada dokładnie na końcu przedziału, funkcja jest monotoniczna na pozostałej części przedziału. Nie ma drugiego "wewnętrznego" ekstremum do porównania - tylko wierzchołek na końcu i wartość na drugim końcu. Wzór dalej działa, tylko trzeba uważnie czytać granice.

Przykład 5: zadanie maturalne z treścią (optymalizacja)

Pan Adam chce ogrodzić prostokątne boisko o obwodzie $40$ metrów, przylegające jednym bokiem do ściany budynku. Ścianę zostawia bez ogrodzenia. Wyznacz wymiary boiska, dla którego jego pole jest największe, oraz wartość tego maksymalnego pola.

Oznacz przez $x$ długość boku prostopadłego do ściany. Wtedy dwa boki prostopadłe mają długość $x$, a bok równoległy do ściany ma długość $40 - 2x$ (cały obwód to suma trzech ogradzanych boków: $2x + (40 - 2x) = 40$... wait, sprawdzam: $2x + 40 - 2x = 40$, zgadza się).

Hmm, ale to znaczy że samo $40$ to długość siatki, a nie obwodu. Doprecyzujmy: pan Adam ma $40$ metrów siatki na trzy boki (bo czwarty bok to ściana). Dwa boki prostopadłe do ściany mają długość $x$, a bok równoległy do ściany ma długość $40 - 2x$.

Pole prostokąta: $P(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2$.

To funkcja kwadratowa z $a = -2$, $b = 40$, $c = 0$. Aby zadanie miało sens fizyczny, wymagamy $x > 0$ i $40 - 2x > 0$, czyli $0 < x < 20$. Pracujemy w przedziale otwartym $(0, 20)$.

Krok 1: $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = -\frac{40}{-4} = 10$.

Krok 2: $a = -2 < 0$, ramiona w dół. Wierzchołek to maksimum.

Krok 3: Czy $p = 10$ należy do $(0, 20)$? Tak, $0 < 10 < 20$. Wierzchołek wewnątrz przedziału.

Krok 4: Maksymalne pole to $q = P(10) = 40 \cdot 10 - 2 \cdot 100 = 400 - 200 = 200$ metrów kwadratowych. Wymiary boiska: $x = 10$ metrów (boki prostopadłe), $40 - 2 \cdot 10 = 20$ metrów (bok równoległy do ściany).

Odpowiedź: maksymalne pole to $200$ m², boisko ma wymiary $10 \times 20$ metrów.

To klasyczny przykład zadania optymalizacyjnego, w którym ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale daje konkretną odpowiedź geometryczną. Więcej takich problemów rozpisałem w poście zadania optymalizacyjne na maturze, gdzie pokazuję cztery różne schematy: maksymalne pole, minimalny koszt, maksymalny przychód i minimalna odległość.

Co zrobić, gdy funkcja jest podana w postaci kanonicznej

Jeśli zadanie podaje funkcję w postaci $f(x) = a(x - p)^2 + q$, to wierzchołek masz na tacy: $W = (p, q)$. Nie musisz liczyć $-\frac{b}{2a}$, bo $p$ i $q$ widzisz wprost we wzorze.

Przykład: $f(x) = -3(x - 2)^2 + 7$ w przedziale $\langle 0, 5 \rangle$.

Wierzchołek: $W = (2, 7)$. Ramiona w dół ($a = -3 < 0$). $p = 2 \in \langle 0, 5 \rangle$. Więc maksimum to $q = 7$. Liczymy końce: $f(0) = -3 \cdot 4 + 7 = -5$, $f(5) = -3 \cdot 9 + 7 = -20$. Minimum to mniejsza z nich, czyli $-20$.

Postać kanoniczna oszczędza ci pół roboty. Jeśli funkcja jest podana w postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$ i chcesz mieć wierzchołek "na tacy", możesz ją sprowadzić do kanonicznej - zobacz jak przekształcić funkcję kwadratową na postać kanoniczną i iloczynową.

Typowe pułapki

Te błędy widzę co roku przy sprawdzaniu prac próbnych. Każdy z nich kosztuje 1-2 punkty na maturze, a wszystkich można uniknąć stosując schemat.

Zadania z parametrem - krótko jak je ugryźć

Czasem zadanie podaje funkcję z parametrem, np. $f(x) = x^2 + 2mx + 1$, i pyta dla jakich $m$ najmniejsza wartość w przedziale $\langle 0, 4 \rangle$ wynosi $-3$. To trudniejszy wariant tej samej idei.

Schemat się nie zmienia, tylko musisz rozważyć przypadki w zależności od położenia wierzchołka względem przedziału. Wyznaczasz $p = -m$ (w naszym przykładzie). Rozważasz trzy przypadki:

• •$p < 0$, czyli $-m < 0$, czyli $m > 0$ - wierzchołek na lewo od przedziału, funkcja rosnąca, minimum to $f(0)$.
• •$0 \leq p \leq 4$, czyli $-4 \leq m \leq 0$ - wierzchołek w przedziale, minimum to $q = f(p)$.
• •$p > 4$, czyli $m < -4$ - wierzchołek na prawo od przedziału, funkcja malejąca, minimum to $f(4)$.

W każdym przypadku przyrównujesz wynik do $-3$ i rozwiązujesz równanie na $m$. Potem sprawdzasz, czy znalezione $m$ jest w odpowiednim podprzedziale (np. dla pierwszego przypadku $m$ musi wyjść większe od zera).

To zadanie typu "case analysis" - męczące, ale algorytmiczne. Jeśli rozpiszesz przypadki, nie pomylisz się.

Jak rozpoznać ten typ zadania na maturze

Na maturze podstawowej ten typ pojawia się w trzech wariantach:

1. 1.Zadanie zamknięte (1 punkt) - "Najmniejszą wartością funkcji $f(x) = ...$ w przedziale $\langle ..., ... \rangle$ jest: A) ..., B) ..., C) ..., D) ...". Wstawiasz, liczysz, zaznaczasz odpowiedź. 5 minut.

1. 2.Zadanie krótkiej odpowiedzi (2-3 punkty) - "Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w danym przedziale". Pełne rozpisanie schematu z policzeniem wierzchołka, sprawdzeniem przynależności i wartości na końcach. 7-10 minut.

1. 3.Zadanie z treścią / optymalizacyjne (3-5 punktów) - jak nasz przykład z boiskiem. Najpierw modelujesz funkcję na podstawie treści, potem stosujesz schemat. 15-20 minut.

Niezależnie od wariantu - schemat jest ten sam. Cztery kroki. Rozumiesz cztery kroki, masz pewne punkty.

Powiązane techniki, które warto opanować

Ekstremum w przedziale to fragment większej układanki na maturze. Warto opanować też:

• •Postać kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej - jeśli funkcja jest w postaci kanonicznej, wierzchołka nie musisz liczyć.
• •Miejsca zerowe funkcji - przydatne, gdy zadanie pyta o znaki funkcji w przedziale.
• •Jak narysować wykres funkcji kwadratowej - rysunek pomaga zwizualizować, gdzie leży wierzchołek względem przedziału.
• •Odczytywanie własności funkcji z wykresu - czasem zadanie nie podaje wzoru, tylko wykres, i pyta o ekstremum w przedziale.
• •Zadania optymalizacyjne - praktyczne zastosowanie ekstremum w przedziale.
• •Funkcja kwadratowa - kompletny przewodnik - pełne omówienie wszystkich własności funkcji kwadratowej w jednym miejscu.

Cała kategoria zadań z funkcji kwadratowej jest też dostępna w topics/funkcja-kwadratowa, gdzie znajdziesz arkusze i zadania CKE z rozwiązaniami.

Checklista: co musisz umieć

Przed maturą sprawdź, czy potrafisz każdy z tych punktów. Jeśli na któryś odpowiadasz "nie wiem", wróć do odpowiedniej sekcji posta.

Jeśli wszystko odhaczone, masz to zadanie w kieszeni. Na maturze 2027 (i każdej kolejnej) wystarczy zachować spokój i przejść przez cztery kroki schematu.

Podsumowanie

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale to zadanie, na którym możesz odzyskać 2-4 pewne punkty, jeśli opanujesz prosty schemat: policz wierzchołek, sprawdź czy jest w przedziale, policz wartości na końcach, porównaj. Nie potrzebujesz żadnej magicznej wiedzy ani triku - wystarczy systematyczne podejście i dokładność.

Jeśli przerobisz pięć przykładów z tego posta i powtórzysz schemat na podobnych zadaniach z arkuszy maturalnych 2010-2025, zwłaszcza z matury maj 2018, matury maj 2022 i matury maj 2024, to zadanie z ekstremum funkcji kwadratowej przestanie być dla ciebie wyzwaniem. Czas: 5-10 minut na rozwiązanie. Punkty: pewne. Wkład w wynik: spory. To jedno z najlepiej "płacących" zadań na maturze - opłaca się je opanować na blachę.

Następny krok Losuj kolejne zadanie