Zadania optymalizacyjne na maturze z matematyki - jak znaleźć największe pole, objętość i zysk

Zadania optymalizacyjne - najtrudniejszy typ zadań na maturze

Zadania optymalizacyjne to te, w których musisz znaleźć największą lub najmniejszą wartość czegoś - pola, objętości, kosztu, zysku. Na maturze pojawiają się regularnie jako zadania otwarte za 4-6 punktów i stanowią prawdziwe wyzwanie. Wielu uczniów je pomija, bo nie wiedzą, od czego zacząć.

A szkoda, bo każde zadanie optymalizacyjne rozwiązuje się dokładnie tą samą metodą. Nie trzeba wymyślać nic nowego - wystarczy opanować jeden schemat i stosować go mechanicznie. W tym artykule pokażę ci ten schemat i przećwiczymy go na 5 różnych przykładach.

Jeśli czujesz, że potrzebujesz powtórzyć podstawy funkcji kwadratowej (bo to ona jest kluczem do optymalizacji na poziomie podstawowym), zajrzyj do naszego przewodnika po funkcji kwadratowej na maturze.

Kiedy zadanie optymalizacyjne pojawia się na maturze?

Zadania optymalizacyjne pojawiają się na maturze podstawowej i rozszerzonej. Przykłady z ostatnich lat:

Te zadania zawsze pojawiają się w drugiej części arkusza (zadania otwarte). Jeśli chcesz przećwiczyć rozwiązywanie tego typu zadań, w naszej bazie znajdziesz je w kategoriach funkcja kwadratowa, planimetria i stereometria.

Uniwersalna metoda rozwiązywania - 5 kroków

Każde zadanie optymalizacyjne na maturze rozwiążesz tym samym schematem:

Krok 1: Zdefiniuj zmienną

Wybierz jedną wielkość jako zmienną $x$ (lub inną literę). To jest ta wielkość, od której zależy wynik. Na przykład: bok prostokąta, promień walca, liczba sprzedanych sztuk.

Krok 2: Zapisz funkcję celu

Wyraź to, co chcesz zmaksymalizować lub zminimalizować, jako funkcję tej zmiennej. Nazywamy ją funkcją celu - np. $P(x)$ dla pola, $V(x)$ dla objętości, $Z(x)$ dla zysku.

Krok 3: Wyznacz dziedzinę

Określ, jakie wartości może przyjmować $x$. Pamiętaj o ograniczeniach fizycznych: długości muszą być dodatnie, pole nie może być ujemne, liczba sztuk musi być całkowita itp.

Krok 4: Znajdź ekstremum

Na maturze podstawowej funkcja celu to prawie zawsze funkcja kwadratowa. Jej największa/najmniejsza wartość to wartość w wierzchołku paraboli:

$$x_w = \frac{-b}{2a}, \quad y_w = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a}$$

Jeśli $a < 0$, parabola ma ramiona skierowane w dół - wierzchołek to maksimum.
Jeśli $a > 0$, parabola ma ramiona skierowane w górę - wierzchołek to minimum.

Na maturze rozszerzonej możesz potrzebować pochodnej:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{punkty podejrzane o ekstremum}$$

Krok 5: Sprawdź, czy ekstremum należy do dziedziny

To krok, o którym wielu uczniów zapomina! Wierzchołek paraboli może wypadać poza dziedziną. Wtedy maksimum/minimum osiągane jest na krańcu przedziału.

Więcej o tym, jak poprawnie zapisywać rozwiązania zadań otwartych (żeby nie tracić punktów na formalnościach), przeczytasz w artykule jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze.

Przykład 1: Pole prostokąta wpisanego w trójkąt (planimetria)

Treść: W trójkąt równoramienny o podstawie $a = 8$ i wysokości $h = 6$ wpisano prostokąt tak, że jeden bok leży na podstawie trójkąta. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Oznaczmy połowę boku prostokąta leżącego na podstawie jako $x$. Wtedy cały bok na podstawie ma długość $2x$, a $0 < x < 4$ (bo podstawa trójkąta to 8, a połowa to 4).

Krok 2: Musimy wyznaczyć wysokość prostokąta $y$ w zależności od $x$. Korzystamy z podobieństwa trójkątów.

Trójkąt równoramienny ma podstawę 8 i wysokość 6. Jeśli prostokąt ma szerokość $2x$, to mały trójkąt nad prostokątem ma podstawę $2x$ i jest podobny do dużego trójkąta.

Z proporcji (krawędź boczna trójkąta tworzy prostą od wierzchołka do końca podstawy):

$$\frac{y}{6} = \frac{4 - x}{4}$$ $$y = 6 \cdot \frac{4 - x}{4} = \frac{6(4-x)}{4} = \frac{3(4-x)}{2}$$

Krok 3: Funkcja celu - pole prostokąta:

$$P(x) = 2x \cdot y = 2x \cdot \frac{3(4-x)}{2} = 3x(4-x) = 12x - 3x^2$$ $$P(x) = -3x^2 + 12x$$

Dziedzina: $x \in (0, 4)$.

Krok 4: To funkcja kwadratowa z $a = -3 < 0$ - parabola skierowana w dół, szukamy maksimum.

$$x_w = \frac{-12}{2 \cdot (-3)} = \frac{-12}{-6} = 2$$ $$P(2) = -3 \cdot 4 + 12 \cdot 2 = -12 + 24 = 12$$

Krok 5: $x_w = 2 \in (0, 4)$ - tak, mieści się w dziedzinie.

Odpowiedź: Prostokąt o największym polu ma wymiary $2x = 4$ na $y = \frac{3(4-2)}{2} = 3$, a jego pole wynosi $P = 12$.

To typowe zadanie z planimetrii na maturze. Wpisywanie figur w inne figury to klasyka - pojawiało się na wielu arkuszach CKE.

Przykład 2: Objętość walca o danym polu powierzchni (stereometria)

Treść: Pole powierzchni całkowitej walca wynosi $S = 24\pi$. Wyznacz promień podstawy walca, dla którego objętość tego walca jest największa.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zmienna: promień podstawy walca $r > 0$.

Krok 2: Pole powierzchni całkowitej walca:

$$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 24\pi$$

Wyznaczamy $h$ z warunku na pole:

$$2\pi r^2 + 2\pi r h = 24\pi \quad | \div 2\pi$$ $$r^2 + rh = 12$$ $$h = \frac{12 - r^2}{r}$$

Żeby $h > 0$, musi być $12 - r^2 > 0$, czyli $r < 2\sqrt{3}$.

Krok 3: Funkcja celu - objętość walca:

$$V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot \frac{12 - r^2}{r} = \pi r(12 - r^2) = \pi(12r - r^3)$$

Dziedzina: $r \in (0, 2\sqrt{3})$.

Krok 4: Żeby znaleźć maksimum, liczymy pochodną:

$$V(r) = \pi(12r - r^3)$$ $$V'(r) = \pi(12 - 3r^2)$$

Przyrównujemy do zera:

$$12 - 3r^2 = 0$$ $$r^2 = 4$$ $$r = 2 \quad (\text{bo } r > 0)$$

Sprawdzamy drugą pochodną: $V''(r) = \pi(-6r)$, więc $V''(2) = -12\pi < 0$ - to maksimum.

Krok 5: $r = 2 \in (0, 2\sqrt{3})$ - mieści się w dziedzinie.

Obliczamy $h$:

$$h = \frac{12 - 4}{2} = 4$$ $$V(2) = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$$

Odpowiedź: Objętość walca jest największa dla $r = 2$ (i wtedy $h = 4$, a $V = 16\pi$).

Zadania o walcach i stożkach to klasyka stereometrii na maturze. Najczęściej polegają na optymalizacji objętości przy danym polu powierzchni lub odwrotnie.

Uwaga na maturze podstawowej: Jeśli nie znasz pochodnych, CKE formułuje takie zadanie tak, żeby po podstawieniu dostać funkcję kwadratową. Na przykład zamiast $V = \pi(12r - r^3)$ podadzą konkretne ograniczenie, które pozwoli sprowadzić wszystko do postaci $V(r) = ar^2 + br + c$. Wtedy wystarczy wierzchołek paraboli.

Przykład 3: Maksymalny zysk firmy (kontekst ekonomiczny)

Treść: Firma produkuje gadżety. Koszt produkcji $x$ sztuk wynosi $K(x) = 2x^2 + 20x + 100$ złotych, a przychód ze sprzedaży $x$ sztuk to $P(x) = 120x - x^2$ złotych, gdzie $0 \leq x \leq 50$. Dla jakiej liczby sztuk zysk jest największy?

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zmienna: $x$ - liczba wyprodukowanych i sprzedanych sztuk.

Krok 2: Funkcja celu - zysk:

$$Z(x) = P(x) - K(x) = (120x - x^2) - (2x^2 + 20x + 100)$$ $$Z(x) = 120x - x^2 - 2x^2 - 20x - 100$$ $$Z(x) = -3x^2 + 100x - 100$$

Krok 3: Dziedzina: $x \in [0, 50]$, ale $x$ musi być liczbą naturalną (bo to sztuki). Na potrzeby rozwiązania traktujemy $x$ jako zmienną ciągłą, a potem zaokrąglamy.

Krok 4: Funkcja kwadratowa z $a = -3 < 0$ - szukamy maksimum.

$$x_w = \frac{-100}{2 \cdot (-3)} = \frac{-100}{-6} = \frac{50}{3} \approx 16{,}67$$

Ponieważ $x$ musi być liczbą całkowitą, sprawdzamy $x = 16$ i $x = 17$:

$$Z(16) = -3 \cdot 256 + 100 \cdot 16 - 100 = -768 + 1600 - 100 = 732$$ $$Z(17) = -3 \cdot 289 + 100 \cdot 17 - 100 = -867 + 1700 - 100 = 733$$

Krok 5: Obie wartości $x = 16$ i $x = 17$ należą do dziedziny $[0, 50]$.

Odpowiedź: Zysk jest największy dla $x = 17$ sztuk i wynosi 733 złote.

Pułapka: Gdybyśmy nie sprawdzili obu wartości (16 i 17), moglibyśmy podać złą odpowiedź. Wierzchołek paraboli wypadł na $16{,}67$ - to nie jest liczba naturalna, więc trzeba sprawdzić obie sąsiednie. To częsty sposób CKE na zaskoczenie uczniów.

Zadania z kontekstem ekonomicznym to coraz częstszy element matury. Przeczytaj więcej o tym, jak radzić sobie z zadaniami z treścią na maturze.

Przykład 4: Minimalna ilość materiału na pudełko (stereometria praktyczna)

Treść: Z prostokątnego arkusza blachy o wymiarach $24 \text{ cm} \times 24 \text{ cm}$ wycinamy z każdego rogu kwadrat o boku $x$ cm i zaginamy brzegi, tworząc pudełko bez pokrywki. Dla jakiej wartości $x$ objętość pudełka jest największa?

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zmienna: $x$ - bok wycinanego kwadratu ($x > 0$).

Krok 2: Po wycięciu kwadratów i zagięciu brzegów powstaje pudełko o wymiarach:

Funkcja celu - objętość pudełka:

$$V(x) = (24 - 2x)(24 - 2x) \cdot x = x(24 - 2x)^2$$

Krok 3: Dziedzina: wymiary muszą być dodatnie, więc $24 - 2x > 0$, czyli $x < 12$. Zatem $x \in (0, 12)$.

Krok 4: Rozwijamy:

$$V(x) = x(24 - 2x)^2 = x(576 - 96x + 4x^2) = 4x^3 - 96x^2 + 576x$$

Liczymy pochodną:

$$V'(x) = 12x^2 - 192x + 576$$

Przyrównujemy do zera:

$$12x^2 - 192x + 576 = 0 \quad | \div 12$$ $$x^2 - 16x + 48 = 0$$ $$\Delta = 256 - 192 = 64$$ $$x = \frac{16 \pm 8}{2}$$ $$x_1 = 12, \quad x_2 = 4$$

Krok 5: $x = 12$ nie należy do dziedziny (otwartej, $(0, 12)$), bo przy $x = 12$ wymiary pudełka to $0 \times 0 \times 12$ - nie ma pudełka.

Sprawdzamy $x = 4$: $V''(x) = 24x - 192$, więc $V''(4) = 96 - 192 = -96 < 0$ - to maksimum.

$$V(4) = 4(24 - 8)^2 = 4 \cdot 16^2 = 4 \cdot 256 = 1024 \text{ cm}^3$$

Odpowiedź: Objętość pudełka jest największa, gdy wycinamy kwadraty o boku $x = 4$ cm. Wymiary pudełka to $16 \times 16 \times 4$ cm, a objętość wynosi $1024 \text{ cm}^3$.

Na maturze podstawowej to zadanie może wyglądać tak: zamiast ogólnego wzoru podadzą ci, że $V(x) = 4x^3 - 96x^2 + 576x$, i każą znaleźć maksimum. Na tym poziomie to raczej nie będzie pełna optymalizacja z pochodną, ale warto znać cały schemat.

To doskonały przykład na przecięcie stereometrii z optymalizacją. Pudełko bez pokrywki to jedno z ulubionych zadań CKE.

Przykład 5: Optymalna trasa - suma odcinków (geometria analityczna)

Treść: Na prostej $y = 0$ (oś $OX$) szukamy takiego punktu $P = (x, 0)$, żeby suma odległości od punktów $A = (0, 3)$ i $B = (8, 5)$ była najmniejsza.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zmienna: $x$ - współrzędna punktu $P$ na osi $OX$.

Krok 2: Funkcja celu - suma odległości:

$$f(x) = |PA| + |PB| = \sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(x-8)^2 + 25}$$

Krok 3: Dziedzina: $x \in \mathbb{R}$ (punkt może być w dowolnym miejscu na osi $OX$).

Krok 4: Bezpośrednia minimalizacja tej funkcji przez pochodną jest skomplikowana. Na maturze stosujemy sprytną metodę geometryczną - odbicie lustrzane.

Odbijamy punkt $A = (0, 3)$ symetrycznie względem osi $OX$. Dostajemy $A' = (0, -3)$.

Teraz kluczowa obserwacja: $|PA| = |PA'|$ (bo $P$ leży na osi symetrii).

Zatem:

$$f(x) = |PA| + |PB| = |PA'| + |PB| \geq |A'B|$$

Nierówność trójkąta mówi nam, że suma $|PA'| + |PB| \geq |A'B|$, a równość zachodzi wtedy, gdy $P$ leży na odcinku $A'B$.

$$|A'B| = \sqrt{(8-0)^2 + (5-(-3))^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$

Punkt $P$ to przecięcie prostej $A'B$ z osią $OX$.

Prosta przez $A' = (0, -3)$ i $B = (8, 5)$:

$$\frac{y - (-3)}{5 - (-3)} = \frac{x - 0}{8 - 0}$$ $$\frac{y + 3}{8} = \frac{x}{8}$$ $$y + 3 = x$$ $$y = x - 3$$

Dla $y = 0$: $x = 3$.

Krok 5: $x = 3 \in \mathbb{R}$ - oczywiście należy do dziedziny.

Odpowiedź: Punkt $P = (3, 0)$ minimalizuje sumę odległości. Minimalna suma wynosi $8\sqrt{2}$.

Metoda odbicia lustrzanego to potężne narzędzie z geometrii analitycznej. Pojawia się na maturze co kilka lat i za każdym razem sprawia kłopoty - bo uczniowie próbują liczyć pochodną zamiast rysować.

Schemat zapisu na maturze - jak nie tracić punktów

Na maturze punkty tracisz nie tylko za złe obliczenia, ale też za brak elementów rozwiązania. Oto jak zapisać zadanie optymalizacyjne, żeby dostać maksimum:

Obowiązkowe elementy zapisu

1. Wprowadzenie zmiennej - "Niech $x$ oznacza..." z podaniem dziedziny
2. Wyprowadzenie funkcji celu - pokaż, skąd wzięła się formuła
3. Obliczenie ekstremum - wierzchołek paraboli lub pochodna
4. Weryfikacja - sprawdzenie, że ekstremum należy do dziedziny
5. Odpowiedź - zdanie z wynikiem

Najczęstsze błędy

Przeczytaj o zasadach oceniania na maturze z matematyki, żeby wiedzieć, za co dokładnie tracisz punkty.

Na maturze podstawowej vs rozszerzonej

Matura podstawowa

Na podstawowej zadania optymalizacyjne są sformułowane tak, żeby funkcja celu była kwadratowa. Nie potrzebujesz pochodnych - wystarczy:

$$x_w = \frac{-b}{2a}, \quad y_w = f(x_w)$$

Typowe warianty:

Matura rozszerzona

Na rozszerzonej funkcja celu może być dowolna - sześcienna, wymierna, z pierwiastkami. Musisz użyć pochodnej:

1. Oblicz $f'(x)$
2. Rozwiąż $f'(x) = 0$
3. Sprawdź drugą pochodną ($f''(x_0) < 0$ to maksimum, $f''(x_0) > 0$ to minimum) lub zbadaj znak pierwszej pochodnej

Jeśli celujesz w maturę rozszerzoną, nasze omówienie wymagań pomoże ci zaplanować naukę.

Triki i skróty

Trick 1: Prostokąt o danym obwodzie - największe pole to kwadrat

Jeśli obwód prostokąta wynosi $2s$, to pole $P = x(s-x)$, a maksimum jest dla $x = \frac{s}{2}$ - czyli prostokąt to kwadrat. To tak częste, że warto zapamiętać jako fakt.

Trick 2: AM-GM zamiast paraboli

Dla dwóch liczb dodatnich $a, b$ zachodzi:

$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$

Równość zachodzi, gdy $a = b$. To pozwala szybko znaleźć maksimum iloczynu przy stałej sumie (lub minimum sumy przy stałym iloczynie) bez wypisywania funkcji kwadratowej.

Trick 3: Symetria w zadaniach geometrycznych

Jeśli figura ma symetrię (np. trójkąt równoramienny, koło), to optymalna wpisana figura zachowuje tę symetrię. Nie musisz tego dowodzić na maturze - ale możesz użyć do szybkiego zgadnięcia odpowiedzi, a potem ją zweryfikować.

Jak ćwiczyć zadania optymalizacyjne

1. Zacznij od prostych - pole prostokąta o danym obwodzie, objętość pudełka. To ćwiczenia, które budują intuicję.
2. Rozwiązuj z pełnym zapisem - nawet ćwicząc w domu, pisz tak jakbyś był na maturze. Wprowadzenie zmiennej, dziedzina, obliczenia, odpowiedź.
3. Rysuj! - W zadaniach geometrycznych rysunek to połowa sukcesu. Oznacz zmienną na rysunku.
4. Rozwiąż 10-15 zadań - po tylu powtórzeniach schemat wejdzie w krew.
5. Przejrzyj arkusze maturalne z lat 2010-2025 - znajdź w nich zadania optymalizacyjne i rozwiąż je samodzielnie.

Na sprawnamatura.pl masz ponad 2400 zadań maturalnych podzielonych na 19 kategorii tematycznych. Zadania optymalizacyjne znajdziesz głównie w kategoriach funkcja kwadratowa, stereometria i geometria analityczna.

Podsumowanie - co zapamiętać

Zadania optymalizacyjne wyglądają na trudne, ale mają prostą strukturę. Pamiętaj schemat:

1. Zmienna - wybierz i nazwij
2. Funkcja celu - wyraź to, co optymalizujesz, jako funkcję zmiennej
3. Dziedzina - określ zakres zmiennej
4. Ekstremum - wierzchołek paraboli (podstawowa) lub pochodna (rozszerzona)
5. Weryfikacja - czy wynik należy do dziedziny

Jeśli opanujesz ten schemat i przećwiczysz go na kilkunastu zadaniach, zadania optymalizacyjne staną się jednymi z łatwiejszych na maturze - bo masz gotową procedurę, której wystarczy się trzymać.

Na koniec przeczytaj strategię zdawania matury z matematyki, żeby wiedzieć, w jakiej kolejności podchodzić do zadań na egzaminie. Zadania optymalizacyjne zwykle rozwiązuj jako jedne z ostatnich - najpierw zbierz łatwe punkty.