Planimetria na maturze - pola figur, twierdzenia i zadania z rozwiązaniami

Planimetria - geometria, która daje punkty

Planimetria (geometria płaska) pojawia się na maturze w 2-4 zadaniach, łącznie za 4-8 punktów. To jeden z "Big 5" - pięciu tematów, które stanowią ponad 60% punktów na egzaminie. Zadania z planimetrii wymagają dobrej znajomości wzorów na pola figur, twierdzenia Pitagorasa i umiejętności "widzenia" figur pomocniczych w złożonych konstrukcjach.

Twierdzenie Pitagorasa - fundament planimetrii

$$a^2 + b^2 = c^2$$

gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne, a $c$ to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego.

To twierdzenie pojawia się na maturze w co drugim zadaniu z planimetrii. Często nie wprost - musisz sam zauważyć, że w figurze jest trójkąt prostokątny.

Trójkąty prostokątne szczególne

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 (i wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15):
$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$ Trójkąt o bokach 5, 12, 13:
$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$

Połowa kwadratu (trójkąt 45-45-90): boki w stosunku $1 : 1 : \sqrt{2}$

Połowa trójkąta równobocznego (trójkąt 30-60-90): boki w stosunku $1 : \sqrt{3} : 2$

Zapamiętaj te proporcje - CKE regularnie daje zadania, w których rozpoznanie trójkąta szczególnego oszczędza kilka minut obliczeń.

Pola figur - kompletna lista

Trójkąty

Podstawowy wzór: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ (podstawa razy wysokość przez 2)

Ze wzoru Herona (gdy znasz 3 boki):
$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
gdzie $s = \frac{a+b+c}{2}$ (połowa obwodu) Z sinusem kąta (gdy znasz 2 boki i kąt między nimi):
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$$ Trójkąt równoboczny o boku $a$:
$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Czworokąty

Prostokąt: $P = a \cdot b$

Kwadrat: $P = a^2 = \frac{d^2}{2}$ (z boku lub z przekątnej)

Równoległobok: $P = a \cdot h$ (bok razy wysokość na ten bok)

Romb: $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ (połowa iloczynu przekątnych)

Trapez: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ (suma podstaw razy wysokość przez 2)

Koło

Pole koła: $P = \pi r^2$

Obwód koła: $L = 2\pi r$

Pole wycinka: $P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$

Długość łuku: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$

Podobieństwo figur

Dwa trójkąty są podobne, gdy mają równe kąty (wystarczą 2 z 3) lub gdy boki są proporcjonalne. Na maturze podobieństwo pojawia się w dwóch kontekstach:

Cechy podobienstwa trójkątów

Skala podobienstwa

Jeśli skala podobienstwa wynosi $k$:

Przykład: Jeśli dwa trójkąty są podobne w skali $k = 3$, to pole większego jest $3^2 = 9$ razy większe od pola mniejszego.

Okrąg wpisany i opisany

Okrąg wpisany w trójkąt

Promień okręgu wpisanego:
$$r = \frac{P}{s}$$

gdzie $P$ to pole trójkąta, a $s$ to połowa obwodu.

Okrąg opisany na trójkącie

Promień okręgu opisanego (z twierdzenia sinusów):
$$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$$

Ważna własność: Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty (90°). CKE uwielbia to testować!

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Przykład 1: Trapez równoramienny (otwarte, 3 pkt)

Treść: W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawy mają długości $AB = 14$ cm i $CD = 6$ cm, a ramię $AD = 5$ cm. Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie:

Krok 1. Wyznaczamy wysokość. Różnica podstaw: $14 - 6 = 8$. W trapezie równoramiennym dzieli się po równo: $\frac{8}{2} = 4$ cm po każdej stronie.

Krok 2. Trójkąt prostokątny z przyprostokątną 4 cm i przeciwprostokątną 5 cm (ramię):
$$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$$

Rozpoznajemy trójkąt 3-4-5!

Krok 3. Pole trapezu:
$$P = \frac{(14 + 6) \cdot 3}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ cm}^2$$

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi $30 \text{ cm}^2$

Przykład 2: Podobieństwo trójkątów (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Jeśli $AB = 6$, $DE = 9$ i pole $ABC = 20$, to pole $DEF$ jest równe

A. $30$    B. $45$    C. $60$    D. $180$

Rozwiązanie:

Skala podobienstwa: $k = \frac{DE}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Stosunek pól: $k^2 = \frac{9}{4}$

$$P_{DEF} = P_{ABC} \cdot k^2 = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$$

Odpowiedź: B

Przykład 3: Trójkąt z sinusem kąta (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Dwa boki trójkąta mają długości 8 cm i 12 cm, a kąt między nimi wynosi $150°$. Pole tego trójkąta jest równe

A. $24$ cm$^2$    B. $24\sqrt{3}$ cm$^2$    C. $48$ cm$^2$    D. $48\sqrt{3}$ cm$^2$

Rozwiązanie:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin 150° = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot \frac{1}{2} = 24 \text{ cm}^2$$

Kluczowe: $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ (kąt w II ćwiartce).

Odpowiedź: A

Przykład 4: Okrąg i kąt wpisany (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Punkt $C$ leży na okręgu o średnicy $AB = 10$. Jeśli $AC = 6$, to $BC$ jest równe

A. $4$    B. $8$    C. $\sqrt{64}$    D. $\sqrt{136}$

Rozwiązanie:

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc trójkąt $ACB$ jest prostokątny z przeciwprostokątną $AB = 10$.

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

Odpowiedź: B (i C - to ta sama wartość)

Najczęstsze błędy

Błąd 1: Mylenie wysokości z bokiem. Wysokość trójkąta to odcinek prostopadły do podstawy, nie bok trójkąta! W trójkącie rozwartokątnym wysokość może wypadać poza figurę.

Błąd 2: Zapominanie o połowie. Pole trójkąta to podstawa razy wysokość podzielone przez 2. Pole trapezu to suma podstaw razy wysokość podzielone przez 2. Pod presją czasu łatwo pominąć tę dwójkę.

Błąd 3: Brak rysunku. Planimetria bez rysunku to jak jazda z zamkniętymi oczami. Nawet brzydki szkic pomaga zauważyć trójkąty prostokątne, symetrie i zależności.

Błąd 4: Niemożność "zobaczenia" trójkąta prostokątnego. W trapezach, równoległobokach i wielokątach prawie zawsze jest ukryty trójkąt prostokątny (np. po opuszczeniu wysokości). Szukaj go - to klucz do rozwiązania.

Jak ćwiczyć planimetrię?

1. Rysuj. Do każdego zadania rób rysunek - nawet jeśli nie jest wymagany.
2. Szukaj trójkątów prostokątnych. Opuść wysokość, poprowadź przekątną, znajdź kąt prosty.
3. Zacznij od łatwych. Rozwiąż 20 zamkniętych, potem przejdź do otwartych.
4. Trenuj wzór Herona. Na maturze pojawia się rzadko, ale gdy się pojawi - oszczędza czas.

Na Sprawnej Maturze masz zadania z planimetrii z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz je wszystkie, robiąc rysunki do każdego zadania.