Jak obliczyć pole trapezu - 6 wzorów i zadania maturalne krok po kroku

Pole trapezu to jedno z najczęstszych zadań planimetrycznych na maturze. Pojawia się prawie w każdym arkuszu - raz jako gotowy wzór do wstawienia, raz jako zadanie, w którym musisz najpierw dorysować wysokość albo obliczyć ją z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli znasz tylko wzór $P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$, a nie wiesz kiedy policzyć wysokość z kąta, a kiedy z ramienia, ten poradnik jest dla ciebie.

Wzór podstawowy - pole trapezu przez podstawy i wysokość

Najważniejszy wzór, który musisz znać na pamięć:

$$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$

gdzie:

Zapamiętaj: nie mnożysz żadnego ramienia, tylko wysokość. To częsty błąd - uczniowie biorą długość ramienia zamiast wysokości. Ramię bywa równe wysokości tylko w trapezie prostokątnym (w ramieniu, które jest prostopadłe do podstaw).

Pole trapezu równoramiennego - kiedy ramię nie jest wysokością

W trapezie równoramiennym oba ramiona mają taką samą długość $c$, a trapez jest symetryczny. To nie znaczy, że $h = c$. Żeby policzyć wysokość, musisz wyciąć z ramienia trójkąt prostokątny.

Przykład 1. Trapez równoramienny ma podstawy $a = 12$, $b = 6$ i ramię $c = 5$. Oblicz pole.

Krok 1. Odcinek, o który dłuższa podstawa jest dłuższa od krótszej, dzieli się po równo na oba boki:

$$x = \frac{a-b}{2} = \frac{12-6}{2} = 3$$

Krok 2. Wysokość z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $x$ i $h$ oraz przeciwprostokątnej $c$:

$$h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$$

Krok 3. Wstawiamy do wzoru:

$$P = \frac{(12+6) \cdot 4}{2} = 36$$

Odpowiedź: $P = 36$.

Pole trapezu prostokątnego

Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do obu podstaw. To ramię jest wysokością - nie musisz nic dorysowywać.

Przykład 2. Trapez prostokątny ma podstawy $a = 10$, $b = 6$ i ramię prostopadłe $d = 8$. Oblicz pole.

$$P = \frac{(10+6) \cdot 8}{2} = 64$$

Uwaga: drugie ramię (ukośne) policzysz z Pitagorasa, ale do pola nie jest potrzebne.

Pole trapezu z przekątnymi - wzór dla trapezu o prostopadłych przekątnych

Jeżeli przekątne $d_1$ i $d_2$ przecinają się pod kątem prostym (rzadkie, ale matura to lubi), działa wzór:

$$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

Ten sam wzór, co dla rombu - i to jest pułapka. Uważaj: to działa tylko gdy przekątne są prostopadłe.

Pole trapezu z kątem przy podstawie

Gdy znasz ramię $c$ i kąt ostry $\alpha$ przy podstawie, wysokość liczysz z trygonometrii:

$$h = c \cdot \sin\alpha$$

Przykład 3. Trapez ma podstawy $a = 14$, $b = 8$, ramię $c = 6$ i kąt przy dolnej podstawie $\alpha = 30°$. Oblicz pole.

$$h = 6 \cdot \sin 30° = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$ $$P = \frac{(14+8) \cdot 3}{2} = 33$$

Pole trapezu wpisanego w okrąg

Jeśli trapez jest wpisany w okrąg, to musi być równoramienny - inaczej nie da się go wpisać. Znając promień $R$ okręgu opisanego i długości podstaw, wysokość dostaniesz licząc odległości środków podstaw od środka okręgu:

$$h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} + \sqrt{R^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

lub (gdy środek leży między podstawami), a

$$h = \left|\sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} - \sqrt{R^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}\right|$$

gdy środek leży poza trapezem. Narysuj obrazek zanim zaczniesz liczyć.

Pole trapezu ze współrzędnych - metoda wyznacznikowa

Gdy dostaniesz na maturze cztery punkty $A, B, C, D$ tworzące trapez, najszybciej policzysz pole jako sumę pól dwóch trójkątów lub wzorem wyznacznikowym:

$$P = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_D) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_D - y_B) + x_D(y_A - y_C)|$$

W praktyce wygodniej podzielić trapez przekątną na dwa trójkąty i dla każdego zastosować wzór na pole trójkąta ze współrzędnych:

$$P_{\triangle} = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$$

Po więcej szczegółów zajrzyj do poradnika o polu trójkąta.

Trapez w geometrii analitycznej - typowy układ na maturze

Na maturze rozszerzonej trapez w układzie współrzędnych pojawia się często razem z pytaniem o:

Sprawdź poradnik geometrii analitycznej jeśli potrzebujesz solidnej powtórki z tej sekcji.

Odwrócenie zadania - znajdź wysokość mając pole

Często matura zadaje pytanie odwrotne: znane pole, znane podstawy, szukana wysokość.

$$h = \frac{2P}{a+b}$$

Przykład 4. Trapez ma pole $P = 72$, podstawy $a = 10$ i $b = 6$. Ile wynosi wysokość?

$$h = \frac{2 \cdot 72}{10+6} = \frac{144}{16} = 9$$

3 typowe pułapki maturalne

Pułapka 1: branie ramienia zamiast wysokości. W trapezie równoramiennym ramię jest dłuższe niż wysokość. Zawsze dorysuj trójkąt prostokątny i policz $h$ z Pitagorasa.

Pułapka 2: nie policzenie x. Gdy masz trapez równoramienny, zanim użyjesz Pitagorasa, oblicz $x = \frac{a-b}{2}$. Bez tego nie wiesz jakie są przyprostokątne.

Pułapka 3: pomylenie wzoru rombu z wzorem trapezu o prostopadłych przekątnych. Wzór $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ działa dla trapezu tylko jeśli przekątne są prostopadłe. Sprawdź to warunek w zadaniu - nigdy nie zakładaj.

Ćwicz - zadania CKE

Po przeczytaniu teorii weź się za konkretne zadania maturalne z kategorii Planimetria. W bazie masz ponad 260 zadań CKE, posortowanych od maturyalnych zadań zamkniętych (za 1 punkt) po rozszerzone zadania otwarte. Każde ma pełne rozwiązanie krok po kroku.

Jeśli chcesz od razu trenować na czas, uruchom symulator matury i ustaw filtr na Planimetrię - dostaniesz losowy zestaw 10 zadań w warunkach egzaminu.

Wzory i własności - ściąga na maturę

Przekrój najważniejszych wzorów, które powinieneś mieć przed egzaminem w pamięci:

Linia środkowa łącząca środki ramion jest równoległa do podstaw i równa ich średniej arytmetycznej. Czasem matura daje ci właśnie linię środkową i pole - wtedy pole liczysz prościej: $P = m \cdot h$.

Checklista - co musisz umieć przed maturą

Jeżeli masz to opanowane, zadania z trapezu na maturze są gwarantowanymi punktami. Sprawdź też poradnik z planimetrii żeby zobaczyć jak trapez łączy się z okręgiem wpisanym i opisanym.