Do okręgu o środku O poprowadzono z zewnętrznego punktu P dwie styczne przecinające się w P pod kątem 50° (zobacz rysunek). Punktami styczności są, odpowiednio, punkty A i B. Kąt AOB ma miarę
Odpowiedzi do wyboru
- A.90°
- B.120°
- C.130°
- D.150°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Rozpatrzmy czworokąt PAOB, w którym: - punkt P to punkt przecięcia stycznych - punkty A i B to punkty styczności - punkt O to środek okręgu
Krok 1: Własność stycznej do okręgu
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.
Zatem: - OA ⊥ PA, więc ∠OAP = 90° - OB ⊥ PB, więc ∠OBP = 90°
Krok 2: Suma kątów w czworokącie
Suma kątów w dowolnym czworokącie wynosi 360°.
W czworokącie PAOB:
∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°
Krok 3: Podstawienie znanych wartości
Z treści zadania wiemy, że ∠APB = 50°.
Z kroku 1 wiemy, że ∠OAP = 90° i ∠OBP = 90°.
Podstawiamy:
50° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°
230° + ∠AOB = 360°
∠AOB = 360° - 230° = 130°
Odpowiedź: C
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.