Trapez równoramienny - własności, kąty i zadania

Q: Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego, gdy znam tylko boki?

Policz rzut ramienia jako połowę różnicy podstaw, czyli a-b/2, a potem zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie o przeciwprostokątnej równej ramieniu. Wysokość wychodzi ze wzoru h = √c² - (a-b/2)².

Q: Jak liczyć pole trapezu równoramiennego, gdy dany jest tylko kąt i ramię?

Najpierw z kąta i ramienia wyznacz wysokość ze wzoru h = c · sinα oraz rzut ramienia ze wzoru x = c · cosα. Rzut pozwala uzupełnić brakującą podstawę, a wtedy pole liczysz już zwykłym wzorem P = a+b/2 · h.

Trapez równoramienny to trapez, w którym oba ramiona mają tę samą długość. Z tego jednego warunku wynika cała reszta: kąty przy każdej podstawie są równe, przekątne mają równą długość, a wysokość poprowadzona z wierzchołka krótszej podstawy odcina na dłuższej podstawie odcinek długości $\frac{a-b}{2}$ , gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw. Kąty przy tym samym ramieniu sumują się do $180^\circ$ , więc gdy znasz jeden kąt, znasz wszystkie cztery.

Trapez równoramienny wraca w arkuszach CKE co roku, i to w dwóch rolach naraz. Raz jako zadanie zamknięte za 1 punkt, w którym wystarczy poprawnie rozpoznać kąt albo policzyć wysokość. Raz jako zadanie otwarte, w którym trapez jest tylko opakowaniem dla trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pitagorasa. Ten wpis pokazuje, jak w obu przypadkach dojść do wyniku tą samą, jedną drogą. Jeśli szukasz samych wzorów na pole, masz je zebrane w osobnym wpisie o tym, jak obliczyć pole trapezu - tutaj skupiamy się na własnościach, kątach i przekątnych.

Własności trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny ma cztery własności, z których zbudujesz każde maturalne rozwiązanie: ramiona są równej długości, kąty przy tej samej podstawie są równe, przekątne mają równą długość, a cała figura ma oś symetrii przechodzącą przez środki obu podstaw. To wystarczy, żeby z jednej podanej wielkości wyprowadzić wszystkie pozostałe.

Rozpiszmy to na konkrety. Przyjmij oznaczenia: $a$ to dłuższa podstawa, $b$ krótsza podstawa, $c$ ramię, $h$ wysokość, $\alpha$ kąt ostry przy dłuższej podstawie, $\beta$ kąt rozwarty przy krótszej podstawie.

•Ramiona: $|AD| = |BC| = c$ .
•Kąty przy dłuższej podstawie są równe i ostre, kąty przy krótszej równe i rozwarte. Wyjątkiem jest prostokąt, w którym wszystkie cztery mają po $90^\circ$ .
•Kąty przy tym samym ramieniu są kątami jednostronnymi przy prostych równoległych, więc $\alpha + \beta = 180^\circ$ .
•Przekątne są równej długości: $|AC| = |BD|$ . To własność charakterystyczna, czyli działa też w drugą stronę: trapez o równych przekątnych jest równoramienny.
•Oś symetrii to prosta prostopadła do obu podstaw, przechodząca przez ich środki.
•Trapez równoramienny zawsze da się wpisać w okrąg, bo sumy przeciwległych kątów wynoszą $180^\circ$ . Jeśli chcesz zobaczyć, skąd bierze się ten warunek, mamy o tym osobny wpis o czworokącie wpisanym w okrąg.

Wzory

Rzut ramienia na dłuższą podstawę:

x = \frac{a-b}{2}

Wysokość z twierdzenia Pitagorasa:

h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}

Wysokość z ramienia i kąta:

h = c \cdot \sin\alpha

Rzut ramienia z kąta ostrego:

x = c \cdot \cos\alpha

Suma kątów przy ramieniu:

\alpha + \beta = 180^\circ

Pole trapezu:

P = \frac{a+b}{2} \cdot h

Obwód trapezu równoramiennego:

L = a + b + 2c

Odcinek łączący środki ramion:

m = \frac{a+b}{2}

Jak rozwiązać zadanie z trapezem równoramiennym

Schemat jest zawsze ten sam i wart jest wykucia, bo oszczędza kilka minut na arkuszu.

1.Narysuj trapez i podpisz to, co masz dane. Zaznacz, która podstawa jest dłuższa.
2.Opuść wysokość z wierzchołka krótszej podstawy na dłuższą. Jeśli zadanie jest o polu albo o przekątnej, opuść obie wysokości i zobacz prostokąt w środku.
3.Nazwij rzut ramienia. W trapezie równoramiennym oba rzuty są równe i każdy ma długość $\frac{a-b}{2}$ .
4.W powstałym trójkącie prostokątnym użyj twierdzenia Pitagorasa albo funkcji trygonometrycznych, zależnie od tego, czy masz dany bok, czy kąt.
5.Dopiero na końcu wstaw wynik do wzoru na pole albo obwód.

Przykład 1: Kąt przy krótszej podstawie

0/5

Matura próbna marzec 2013Planimetria

Treść: W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu różnią się o $50^\circ$ . Kąt przy krótszej podstawie tego trapezu jest równy:

A $115^\circ$
B $120^\circ$
C $125^\circ$
D $130^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zapisz warunek dla kątów przy ramieniu
Podstawy są równoległe, a ramię je przecina, więc kąty przy tym samym ramieniu są jednostronne i sumują się do $180^\circ$ .
$\alpha + \beta = 180^\circ$
Krok 2
Dołóż drugi warunek z treści
Kąty różnią się o $50^\circ$ , a większy z nich to $\beta$ .
$\beta - \alpha = 50^\circ$
Krok 3
Rozwiąż układ
Dodaj równania stronami.
$2\beta = 230^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta = 115^\circ, \qquad \alpha = 65^\circ$
Krok 4
Wybierz właściwy kąt
Kąt rozwarty leży przy krótszej podstawie, bo to z niej ramiona się rozchodzą. Szukany kąt to $\beta$ .

Odpowiedź A

Kąt przy krótszej podstawie ma $115^\circ$ .

Przykład 2: Wysokość z ramienia i kąta

0/5

Matura maj 2014Planimetria

Treść: Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym $60^\circ$ i ramieniu długości $2\sqrt{3}$ jest równa:

A $\sqrt{3}$
B $3$
C $3\sqrt{3}$
D $2$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zbuduj trójkąt prostokątny
Opuść wysokość z wierzchołka krótszej podstawy. Ramię staje się przeciwprostokątną, a kąt $60^\circ$ leży między ramieniem a dłuższą podstawą.
Krok 2
Zapisz sinus tego kąta
Wysokość leży naprzeciw kąta $60^\circ$ .
$\sin 60^\circ = \frac{h}{c} \quad \Rightarrow \quad h = c \cdot \sin 60^\circ$
Krok 3
Podstaw dane
Za $c$ wstaw $2\sqrt{3}$ , a za $\sin 60^\circ$ wartość $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
$h = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$

Odpowiedź B

Wysokość wynosi $3$ .

Przykład 3: Wysokość z czterech boków

0/5

Matura czerwiec 2018Planimetria

Treść: Długości boków trapezu równoramiennego są równe $12$ , $13$ , $2$ , $13$ . Wysokość $h$ tego trapezu jest równa:

A $5$
B $8$
C $10$
D $12$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Rozpoznaj, co jest czym
Ramiona są równe, więc powtarzająca się liczba $13$ to ramię. Zostają $a = 12$ i $b = 2$ jako podstawy.
Krok 2
Policz rzut ramienia
Wysokości odcinają z dłuższej podstawy dwa równe kawałki po bokach i prostokąt w środku.
$x = \frac{a-b}{2} = \frac{12-2}{2} = 5$
Krok 3
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $13$ i przyprostokątnej $5$ brakuje drugiej przyprostokątnej.
$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$

Odpowiedź D

Wysokość wynosi $12$ .

Przykład 4: Pole trapezu z kątem 60 stopni

0/5

Matura sierpień 2023Planimetria

Treść: Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ , w którym podstawa $CD$ ma długość $6$ , ramię $AD$ ma długość $4$ , a kąty $BAD$ oraz $ABC$ mają miarę $60^\circ$ . Oblicz pole tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Policz wysokość
Wysokość opuszczona z $D$ na $AB$ tworzy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $4$ i kącie $60^\circ$ .
$h = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Krok 2
Policz rzut ramienia
Ten sam trójkąt daje drugą przyprostokątną.
$x = 4 \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$
Krok 3
Wyznacz dłuższą podstawę
Dłuższa podstawa to krótsza plus dwa rzuty, po jednym z każdej strony.
$|AB| = 6 + 2 \cdot 2 = 10$
Krok 4
Wstaw do wzoru na pole
$P = \frac{10+6}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 8 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$

Odpowiedź

$P = 16\sqrt{3}$ .

Przykład 5: Przedłużone ramiona i podobieństwo

0/5

Matura próbna kwiecień 2020Planimetria

Treść: Ramiona trapezu równoramiennego $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przedłużono i przecięły się w punkcie $E$ . Wiadomo, że $|CD| = 4$ , $|DE| = 6$ oraz $|AB| = |CE|$ . Oblicz pole trapezu $ABCD$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Znajdź trójkąty podobne
Podstawy są równoległe, więc trójkąty $ECD$ i $EAB$ są podobne w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|}$ . Oznacz $|AB| = x$ , wtedy $k = \frac{x}{4}$ , a z warunku zadania $|CE| = x$ .
Krok 2
Wyraź odcinki na obu ramionach
Z podobieństwa boki dłuższego trójkąta są $k$ razy dłuższe.
$|EA| = 6 \cdot \frac{x}{4} = \frac{3x}{2}, \qquad |EB| = x \cdot \frac{x}{4} = \frac{x^2}{4}$
Krok 3
Skorzystaj z tego, że trapez jest równoramienny
Ramiona to różnice odcinków na przedłużeniach.
$|AD| = \frac{3x}{2} - 6, \qquad |BC| = \frac{x^2}{4} - x$ $\frac{3x}{2} - 6 = \frac{x^2}{4} - x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 10x + 24 = 0$
Krok 4
Wybierz sensowne rozwiązanie
Z rozkładu $(x-6)(x-4) = 0$ wychodzi $x = 6$ lub $x = 4$ . Wartość $x = 4$ dałaby $|AB| = |CD|$ , czyli równoległobok zamiast trapezu, więc zostaje $x = 6$ .
Krok 5
Policz ramię, wysokość i pole
Ramię to $|AD| = \frac{3 \cdot 6}{2} - 6 = 3$ , a rzut ramienia $\frac{6-4}{2} = 1$ .
$h = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ $P = \frac{6+4}{2} \cdot 2\sqrt{2} = 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Odpowiedź

$P = 10\sqrt{2}$ .

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Rozpoznać, która liczba w zestawie boków jest ramieniem, a które są podstawami.
Opuścić wysokość z wierzchołka krótszej podstawy i nazwać powstały trójkąt prostokątny.
Policzyć rzut ramienia ze wzoru na połowę różnicy podstaw.
Wyznaczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa, gdy dane są boki.
Wyznaczyć wysokość i rzut z funkcji trygonometrycznych, gdy dany jest kąt.
Skorzystać z tego, że kąty przy ramieniu sumują się do $180^\circ$ .
Uzasadnić, że przekątne trapezu równoramiennego są równej długości.

Najczęstsze pytania

Czy prostokąt jest trapezem równoramiennym?

Tak, przy definicji trapezu obowiązującej na maturze prostokąt spełnia warunki trapezu równoramiennego: ma parę boków równoległych i równe ramiona. Dlatego CKE często dopisuje w treści "który nie jest równoległobokiem" - to zastrzeżenie odcina prostokąt i kwadrat, żeby zadanie miało jedno rozwiązanie.

Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego, gdy znam tylko boki?

Policz rzut ramienia jako połowę różnicy podstaw, czyli $\frac{a-b}{2}$ , a potem zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie o przeciwprostokątnej równej ramieniu. Wysokość wychodzi ze wzoru $h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$ .

Czy przekątne trapezu równoramiennego przecinają się w połowie?

Nie. Przekątne trapezu równoramiennego są równej długości, ale dzielą się w stosunku równym stosunkowi podstaw, a nie na połowy. Na połowy dzielą się dopiero w równoległoboku, czyli w przypadku, w którym obie podstawy są równe.

Który kąt trapezu równoramiennego jest rozwarty?

Rozwarte są oba kąty przy krótszej podstawie, a ostre oba kąty przy dłuższej. Wyjątek to prostokąt, gdzie wszystkie cztery kąty mają po $90^\circ$ . Kąty leżące przy tym samym ramieniu zawsze sumują się do $180^\circ$ .

Czy w każdy trapez równoramienny można wpisać okrąg?

Nie, ale na każdym można okrąg opisać. Wpisanie okręgu wymaga dodatkowego warunku: suma długości podstaw musi być równa sumie długości ramion. Opisanie okręgu jest natomiast zawsze możliwe, bo sumy przeciwległych kątów wynoszą $180^\circ$ .

Jak liczyć pole trapezu równoramiennego, gdy dany jest tylko kąt i ramię?

Najpierw z kąta i ramienia wyznacz wysokość ze wzoru $h = c \cdot \sin\alpha$ oraz rzut ramienia ze wzoru $x = c \cdot \cos\alpha$ . Rzut pozwala uzupełnić brakującą podstawę, a wtedy pole liczysz już zwykłym wzorem $P = \frac{a+b}{2} \cdot h$ .

Następny krok Losuj kolejne zadanie z planimetrii

Trapez równoramienny na maturze - własności, kąty, wysokość i zadania

Własności trapezu równoramiennego

Wzory

Jak rozwiązać zadanie z trapezem równoramiennym

Przykład 1: Kąt przy krótszej podstawie

Przykład 2: Wysokość z ramienia i kąta

Przykład 3: Wysokość z czterech boków

Przykład 4: Pole trapezu z kątem 60 stopni

Przykład 5: Przedłużone ramiona i podobieństwo

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Najczęstsze pytania

Czy prostokąt jest trapezem równoramiennym?

Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego, gdy znam tylko boki?

Czy przekątne trapezu równoramiennego przecinają się w połowie?

Który kąt trapezu równoramiennego jest rozwarty?

Czy w każdy trapez równoramienny można wpisać okrąg?

Jak liczyć pole trapezu równoramiennego, gdy dany jest tylko kąt i ramię?

Kategoria: Planimetria

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Stosunek pól i objętości figur podobnych - skala k, k² i k³ w zadaniach maturalnych

Przekątna kwadratu i prostokąta - wzór, okrąg wpisany i opisany, zadania maturalne

Stosunek pól trójkątów - wspólna wysokość, wspólny kąt i zadania z matury rozszerzonej