Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku w punkcie O i promieniu r (zobacz rysunek). Cięciwa AC ma długość r√(3), więc
Odpowiedzi do wyboru
- A.|∢AOC|=130°
- B.|∢ABC|=90°
- C.|∢BOC|=60°
- D.|∢BAC|=45°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: C
Analizuje się trójkąt AOC, gdzie: - |OA| = r (promień) - |OC| = r (promień) - |AC| = r√(3) (dana cięciwa)
Krok 1: Wyznacza się kąt AOC
Trójkąt AOC jest równoramienny (dwa boki to promienie). Stosuje się twierdzenie cosinusów:
|AC|² = |OA|² + |OC|² - 2|OA| · |OC| · cos(∠AOC)
Podstawia się dane:
(r√(3))² = r² + r² - 2r² cos(∠AOC)
3r² = 2r² - 2r² cos(∠AOC)
3r² = 2r²(1 - cos(∠AOC))
3/2 = 1 - cos(∠AOC)
cos(∠AOC) = 1 - 3/2 = -1/2
Zatem: |∠AOC| = 120°
Krok 2: Sprawdza się kąt BOC
Ponieważ AB jest średnicą, punkty A, O, B są współliniowe, więc:
|∠BOC| = 180° - |∠AOC| = 180° - 120° = 60°
Krok 3: Weryfikuję pozostałe odpowiedzi
- A. |∠AOC| = 120° ≠ 130° ✗ - B. |∠ABC| to kąt wpisany oparty na średnicy AC (nie AB), więc ≠ 90° ✗ - C. |∠BOC| = 60° ✓ - D. |∠BAC| to kąt wpisany nad łukiem BC. Z twierdzenia o kącie wpisanym: |∠BAC| = 1/2|∠BOC| = 1/2 · 60° = 30° ≠ 45° ✗
Odpowiedź: C
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.