W trójkącie ABC dane są długości dwóch boków |AB| = 12, |BC| = 8 oraz miara kąta |∢ABC| = 60°. Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka A.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 4√(7)
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-46.png]
Oznaczmy: - |AB| = c = 12 - |BC| = a = 8 - |∠ABC| = 60° - S – środek boku BC - |AS| – środkowa z wierzchołka A
## Krok 2: Znajdźmy długość boku AC
Używamy twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC:
|AC|² = |AB|² + |BC|² - 2 · |AB| · |BC| · cos(∠ABC)
|AC|² = 12² + 8² - 2 · 12 · 8 · cos(60°)
|AC|² = 144 + 64 - 192 · 1/2
|AC|² = 208 - 96 = 112
|AC| = √(112) = 4√(7)
## Krok 3: Zastosujmy wzór na długość środkowej
Punkt S jest środkiem boku BC, więc |BS| = |SC| = 4.
Dla środkowej m_a poprowadzonej z wierzchołka A do środka boku BC używamy wzoru:
m_a² = (2b² + 2c² - a²)/4
gdzie a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|.
|AS|² = (2 · |AC|² + 2 · |AB|² - |BC|²)/4
|AS|² = (2 · 112 + 2 · 144 - 64)/4
|AS|² = (224 + 288 - 64)/4
|AS|² = 448/4 = 112
|AS| = √(112) = √(16 · 7) = 4√(7)
## Odpowiedź
Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka A wynosi 4√(7).
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.