Rozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:a ≠ 0, b ≠ 0 oraz a³+b³=(a+b)³ Oblicz wartość liczbową wyrażenia a/b dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, spełniających powyższe warunki.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: -1
Mamy dane warunki: a ≠ 0, b ≠ 0 oraz a³ + b³ = (a+b)³.
Krok 1: Rozwija się prawą stronę równania.
Używa się wzoru na sześcian sumy: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Krok 2: Podstawia się do równania z warunków.
a³ + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Krok 3: Upraszcza się równanie.
Odejmuje się a³ + b³ od obu stron: 0 = 3a²b + 3ab²
Krok 4: Wyciągam wspólny czynnik.
3a²b + 3ab² = 0 3ab(a + b) = 0
Krok 5: Analizuje się możliwe przypadki.
Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem: - 3 = 0 — niemożliwe - a = 0 — wykluczone z warunków zadania - b = 0 — wykluczone z warunków zadania - a + b = 0 — to jest jedyna możliwość
Krok 6: Rozwiązuje się równanie a + b = 0.
a + b = 0 a = -b
Krok 7: Oblicza się a/b.
a/b = -b/b = -1
Ponieważ b ≠ 0 (z warunków zadania), dzielenie jest dozwolone.
Weryfikacja: Sprawdza się czy a = -b spełnia warunek a³ + b³ = (a+b)³: - Lewa strona: (-b)³ + b³ = -b³ + b³ = 0 - Prawa strona: (-b + b)³ = 0³ = 0 ✓
Odpowiedź: a/b = -1
Wyrażenia algebraiczne: Przekształcanie wyrażeń, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i wyrażenia wymierne wraz z dziedziną.