Dane są dwie liczby x i y, takie, że iloraz x/y jest równy (1+√(5))/2. Oblicz wartość wyrażenia (x+y)/x. Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (1+√(5))/2
Dane jest, że: x/y = (1+√(5))/2
Mamy obliczyć wartość wyrażenia (x+y)/x
Krok 1: Przekształca się wyrażenie, które trzeba obliczyć
(x+y)/x = x/x + y/x = 1 + y/x
Krok 2: Widać, że y/x = 1/(x/y)
Podstawia się dane: y/x = 1/((1+√(5))/2) = 2/(1+√(5))
Krok 3: Usuwam niewymierność z mianownika
Mnoży się licznik i mianownik przez sprzężenie 1-√(5): 2/(1+√(5)) = 2(1-√(5))/(1+√(5))(1-√(5))
Krok 4: Oblicza się mianownik, używając wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a-b) = a² - b²
(1+√(5))(1-√(5)) = 1² - (√(5))² = 1 - 5 = -4
Krok 5: Upraszcza się wyrażenie
2(1-√(5))/-4 = (2-2√(5))/-4 = -(2-2√(5))/4 = (-2+2√(5))/4 = (2√(5)-2)/4 = (√(5)-1)/2
Krok 6: Oblicza się końcowy wynik
(x+y)/x = 1 + y/x = 1 + (√(5)-1)/2 = 2/2 + (√(5)-1)/2 = (2+√(5)-1)/2 = (1+√(5))/2
Odpowiedź: (1+√(5))/2
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.