W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A=(2,8) oraz B=(10,2) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABP, w którym |AP|=|BP|. Wierzchołek P leży na osi O x układu współrzędnych. Oblicz współrzędne punktu P oraz długość odcinka AP.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=(9/4,0)|AP|=5√(41)/4
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-62.png]
Szukamy punktu P na osi Ox, dla którego |AP| = |BP|.
## Krok 2: Ustalenie współrzędnych punktu P
Punkt P leży na osi Ox, więc ma współrzędne P = (p, 0) dla pewnego p ∈ R.
## Krok 3: Zapisanie warunku równości odległości
Warunek |AP| = |BP| oznacza:
√((p-2)² + (0-8)²) = √((p-10)² + (0-2)²)
## Krok 4: Rozwiązanie równania
Podnosimy obie strony do kwadratu:
(p-2)² + 64 = (p-10)² + 4
Rozwijamy nawiasy:
p² - 4p + 4 + 64 = p² - 20p + 100 + 4
p² - 4p + 68 = p² - 20p + 104
Odejmujemy p² z obu stron:
-4p + 68 = -20p + 104
Przenosimy wyrazy z p na lewą stronę, a liczby na prawą:
-4p + 20p = 104 - 68
16p = 36
p = 36/16 = 9/4
Zatem P = (9/4, 0).
## Krok 5: Obliczenie długości odcinka AP
Podstawiamy współrzędne punktów A = (2, 8) i P = (9/4, 0):
|AP| = √((9/4 - 2)² + (0-8)²)
Obliczamy:
9/4 - 2 = 9/4 - 8/4 = 1/4
|AP| = √((1/4)² + 64) = √(1/16 + 64)
|AP| = √(1/16 + 1024/16) = √(1025/16)
|AP| = √(1025)/4
Rozkładamy 1025 = 25 · 41:
|AP| = √(25 · 41)/4 = 5√(41)/4
## Odpowiedź
Współrzędne punktu P = (9/4, 0), a długość odcinka |AP| = 5√(41)/4.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.