Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej n liczba (3 n+5)²+11 n²-18 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Rozwija się wyrażenie (3n+5)² + 11n² - 18.
Krok 1: Rozwinięcie kwadratu
(3n+5)² = 9n² + 30n + 25
Krok 2: Podstawienie do wyrażenia
(3n+5)² + 11n² - 18 = 9n² + 30n + 25 + 11n² - 18
Krok 3: Uproszczenie
= 20n² + 30n + 7
Krok 4: Analiza modulo 5
Aby sprawdzić resztę z dzielenia przez 5, oblicza się:
20n² + 30n + 7 ≡ 0 · n² + 0 · n + 7 5
Ponieważ 20 = 4 · 5 ≡ 0 5 oraz 30 = 6 · 5 ≡ 0 5.
Krok 5: Obliczenie reszty
7 = 1 · 5 + 2
Zatem: 7 ≡ 2 5
Wniosek:
20n² + 30n + 7 ≡ 2 5
Dla każdej liczby całkowitej n wyrażenie (3n+5)² + 11n² - 18 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
Weryfikacja przykładowa: - Dla n=0: 20 · 0 + 30 · 0 + 7 = 7 = 1 · 5 + 2 ✓ - Dla n=1: 20 + 30 + 7 = 57 = 11 · 5 + 2 ✓ - Dla n=-1: 20 - 30 + 7 = -3 = -1 · 5 + 2 ✓
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.