Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg (a_n) określony wzorem a_n=n²-n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 jest
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A3
Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.
Dany jest ciąg a_n = n² - n dla n ≥ 1.
Krok 1: Oblicza się kilka początkowych wyrazów
a₁ = 1² - 1 = 0 a₂ = 2² - 2 = 2 a₃ = 3² - 3 = 6 a₄ = 4² - 4 = 12 a₅ = 5² - 5 = 20
Krok 2: Sprawdza się różnice kolejnych wyrazów
a₂ - a₁ = 2 - 0 = 2 a₃ - a₂ = 6 - 2 = 4 a₄ - a₃ = 12 - 6 = 6 a₅ - a₄ = 20 - 12 = 8
Różnice nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.
Krok 3: Sprawdza się ilorazy kolejnych wyrazów
a₂/a₁ = 2/0 – nieokreślone
Nie można obliczyć ilorazu, więc ciąg nie jest geometryczny.
Krok 4: Sprawdza się monotoniczność
Porównuje się a_(n+1) z a_n:
a_(n+1) = (n+1)² - (n+1) = n² + 2n + 1 - n - 1 = n² + n
a_(n+1) - a_n = (n² + n) - (n² - n) = 2n
Dla każdego n ≥ 1: 2n > 0
Zatem a_(n+1) > a_n, co oznacza, że ciąg jest rosnący.
Krok 5: Uzasadnienie rosnącego charakteru
Przekształca się wzór: a_n = n² - n = n(n-1)
Dla n ≥ 2: zarówno n > 0 jak i n-1 > 0, więc a_n > 0 i ciąg rośnie.
Również a_(n+1) - a_n = 2n, czyli różnica zwiększa się wraz ze wzrostem n.
Odpowiedź: A3
Ciąg jest rosnący, ponieważ a_(n+1) - a_n = 2n > 0 dla każdego n ≥ 1.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.