Kalkulator ciągów: arytmetyczny i geometryczny
Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę r, więc n-ty wyraz to a₁ powiększone o (n - 1) różnic. Ciąg geometryczny ma stały iloraz q, więc n-ty wyraz to a₁ pomnożone przez q podniesione do potęgi n - 1. Suma początkowych wyrazów ma osobny wzór dla każdego z tych ciągów. Kalkulator wyżej liczy wyraz, sumę, różnicę i iloraz z podstawieniem do wzoru.
a₁₀ = 39
Pierwsze wyrazy: 3, 7, 11, 15, 19
Ciąg jest rosnący, bo różnica r jest dodatnia.
Wzór ogólny: a_n = a₁ + (n - 1)r = 3 + (n - 1) · 4
- Podstawieniea₁₀ = 3 + (10 - 1) · 4
- Wynika₁₀ = 39
Jak to policzyć
- Rozpoznaj typ ciąguOdejmij od drugiego wyrazu pierwszy, potem od trzeciego drugi. Jeżeli obie różnice wychodzą takie same, ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli różnice się nie zgadzają, podziel drugi wyraz przez pierwszy i trzeci przez drugi. Równe ilorazy oznaczają ciąg geometryczny, a różne oznaczają, że ciąg nie jest ani jednym, ani drugim i wzorów z tego działu użyć nie wolno.
- Wypisz dane i numer wyrazuZapisz osobno pierwszy wyraz a₁, różnicę r albo iloraz q oraz numer n tego wyrazu, o który pyta polecenie. Numer wyrazu to liczba naturalna i to on decyduje o wykładniku, a nie wartość wyrazu. Zadania maturalne bardzo często podają dwa dowolne wyrazy zamiast pierwszego, więc a₁ trzeba najpierw odzyskać.
- Podstaw do wzoru na n-ty wyrazW ciągu arytmetycznym aₙ = a₁ + (n - 1)r, w geometrycznym aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹. W obu wzorach stoi n - 1, a nie n, bo pierwszy wyraz jeszcze niczego nie dodaje ani przez nic nie mnoży. Podstawiaj wartości ujemne w nawiasach, żeby minus nie zniknął przy potęgowaniu.
- Policz sumę początkowych wyrazówSuma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to Sₙ = (2a₁ + (n - 1)r) podzielone przez 2 i pomnożone przez n. W ciągu geometrycznym o ilorazie różnym od jedynki Sₙ = a₁ · (1 - qⁿ) podzielone przez (1 - q), a dla q równego 1 suma to po prostu n razy a₁. Ten drugi przypadek trzeba wypisać osobno, bo we wzorze ogólnym mianownik byłby zerem.
Przykład z matury
Skąd wziąć różnicę i iloraz, gdy nie ma ich w treści
Najczęstszy układ danych na maturze to dwa dowolne wyrazy z numerami, a nie pierwszy wyraz z różnicą. W ciągu arytmetycznym wystarczy jedno odejmowanie: między wyrazem k-tym a m-tym mieści się dokładnie m - k różnic, więc r jest ilorazem różnicy wartości przez różnicę numerów. Mając r, pierwszy wyraz odzyskujesz cofając się o k - 1 kroków od wyrazu znanego.
W ciągu geometrycznym ta sama droga prowadzi przez potęgę: iloraz wartości dwóch wyrazów jest równy q podniesionemu do różnicy numerów. Gdy ta różnica jest parzysta, pierwiastek ma dwa znaki i zadanie zwykle ma dwa rozwiązania, o czym łatwo zapomnieć. Kalkulator wyżej ma na to osobny tryb, a pełne rozpisanie takich zadań znajdziesz we wpisie o ciągu geometrycznym na maturze.
Suma początkowych wyrazów
Suma ciągu: dwa wzory i jedno pytanie kontrolne
Wzór na sumę ciągu arytmetycznego czyta się najprościej jako średnia pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożona przez liczbę wyrazów. To bardzo wygodna kontrola: jeżeli znasz a₁ i aₙ, sumę policzysz bez różnicy r, a wynik z obu dróg musi się zgadzać. W zadaniach o sumie wyrazów o numerach parzystych albo nieparzystych ta sama obserwacja skraca rachunek o połowę, bo taki podciąg też jest arytmetyczny, tylko o podwójnej różnicy.
W ciągu geometrycznym pytanie kontrolne brzmi inaczej: czy iloraz jest równy jedynce. Wzór ogólny ma wtedy zero w mianowniku i traci sens, a suma to zwykłe n razy a₁. Ten przypadek pojawia się w zadaniach z parametrem, gdzie q dopiero wyznaczasz. Więcej ćwiczeń na oba wzory zebraliśmy we wpisie o tym, jak obliczyć sumę ciągu.
Ciągi na maturze: gdzie realnie padają punkty
W arkuszu podstawowym ciągi zajmują zwykle dwa lub trzy zadania i połowa z nich sprowadza się do jednego z dwóch schematów. Pierwszy to trójka liczb z parametrem, w której masz dobrać parametr tak, żeby ciąg był arytmetyczny albo geometryczny. Drugi to układ dwóch informacji o wyrazach, z którego wyznaczasz a₁ i r, a dopiero potem odpowiadasz na właściwe pytanie.
Punkty giną najczęściej nie na wzorze, tylko na numeracji: w rozwiązaniu pojawia się a₁ zamiast a₀, albo suma dziesięciu wyrazów liczona od wyrazu drugiego. Warto więc wypisywać numery obok wartości. Zestaw zadań otwartych z pełnymi rozwiązaniami mamy we wpisie o sumie ciągu i monotoniczności, a warunki na trójki liczb rozpisaliśmy osobno, w tekście o tym, kiedy liczby tworzą ciąg.
Wynik dokładny w postaci ułamka, na przykład r = 2/3, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator zostawia ułamek ułamkiem wszędzie tam, gdzie rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone.
Pułapki maturalne
We wzorze stoi n - 1, a nie n
Do pierwszego wyrazu nie dodajesz jeszcze żadnej różnicy i nie mnożysz go przez żaden iloraz, więc do wyrazu numer n dochodzisz w n - 1 krokach. Podstawienie samego n przesuwa cały wynik o jedną różnicę albo o jedno mnożenie i jest najczęstszym błędem w tym dziale. Ta sama uwaga dotyczy odzyskiwania pierwszego wyrazu z wyrazu k-tego: cofasz się o k - 1 kroków.
Ujemny iloraz to nie jest ciąg malejący
Przy q ujemnym kolejne wyrazy zmieniają znak, więc ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący, tylko naprzemienny. Odpowiedź, że ciąg maleje, bo iloraz jest mniejszy od jedynki, nie dostaje punktu. Monotoniczność ciągu geometrycznego rozstrzyga się dopiero po sprawdzeniu znaku pierwszego wyrazu i tego, czy iloraz leży między zerem a jedynką, czy powyżej jedynki.
Warunek na trójkę liczb ma dwie różne postacie
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny, gdy podwojona liczba środkowa równa się sumie skrajnych, a geometryczny, gdy kwadrat środkowej równa się iloczynowi skrajnych. Pomylenie tych warunków daje równanie, które czasem nawet ma rozwiązanie, więc błąd nie rzuca się w oczy. W wariancie geometrycznym trzeba dodatkowo odrzucić rozwiązania, przy których którykolwiek wyraz jest zerem.
Najczęściej zadawane pytania
Ze wzoru aₙ = a₁ + (n - 1)r, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a r to różnica ciągu. Dla a₁ = 3, r = 4 i n = 10 wychodzi 3 + 9 · 4, czyli 39. Wzór stoi w tablicach maturalnych, więc nie trzeba go pamiętać, ale trzeba umieć rozpoznać dane.
Suma n początkowych wyrazów to Sₙ = (2a₁ + (n - 1)r) podzielone przez 2 i pomnożone przez n. Równoważnie: średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów. Druga postać jest szybsza, gdy zadanie podaje od razu wyraz ostatni, i służy jako kontrola wyniku.
Trzy liczby x, y, z tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy y do kwadratu równa się iloczynowi x razy z, a przy tym żadna z nich nie jest zerem. Dla ciągu arytmetycznego warunek jest inny: podwojone y musi być równe sumie x oraz z.
Różnica r opisuje ciąg arytmetyczny i mówi, ile DODAJESZ, przechodząc do następnego wyrazu. Iloraz q opisuje ciąg geometryczny i mówi, przez ile MNOŻYSZ. Różnica może być dowolną liczbą, także zerem, a iloraz zerem być nie może, bo wtedy dalsze wyrazy byłyby zerami.
Tak, karta wzorów CKE zawiera wzór na n-ty wyraz i na sumę początkowych wyrazów obu ciągów, a także warunki na trójkę liczb. Nie ma tam natomiast wzoru na różnicę wyznaczaną z dwóch dowolnych wyrazów, więc ten krok trzeba umieć wyprowadzić samodzielnie.